線形代数学

チェックポイント

• 行列式 Basis 正方行列の行列式（determinant）を余因子展開によって再帰的に定義し、符号付き体積のスケーリングという幾何学的意味を説明し、線型写像の可逆性との関係を確立する。
• 次元とランク Basis 有限次元ベクトル空間のすべての基底は同じ大きさを持つことを証明し、次元をこの不変量として定義し、よく知られた空間の次元を調べ、ランクと次元の関係を示す。
• ガウス・ジョルダン消去法 Basis 三つの基本行変換を使って任意の行列を行簡約階段形に系統的に変換する方法を説明し、この手順が線型方程式系の解法とランクの計算の基盤となることを示す。
• 一般線型群 Basis 正則な $n \times n$ 行列が乗法のもとで群をなすことを示し、$GL(n, F)$ とその座標非依存版 $GL(V)$ を導入し、特殊線型群 $SL(n, F)$ を含む重要な部分構造を探る。
• 像とランク Basis 線型写像の像（image）を写像が生成できるすべての出力ベクトルの集合として定義し、それが余域の部分空間であることを証明し、行列の列空間と同一視し、その次元であるランクを導入する。
• 正則行列 Basis 正則行列（invertible matrix）を線型変換を元に戻せる行列として定義し、ガウス・ジョルダン消去法による正則性の判定基準を特徴付け、拡大行列を用いた逆行列の計算法を示す。
• 核（カーネル） Basis 線型写像の核（kernel）をゼロに写されるすべての入力の集合として定義し、それが部分空間であることを証明し、単射性・同次線型方程式系との関係を示し、零化次元（nullity）を導入する。
• 線型方程式系 Basis 線型方程式系が行列方程式 $Ax = b$ としてコンパクトに表現できることを示し、拡大行列に対するガウス・ジョルダン消去法を使って解なし・唯一解・無数の解の三つの場合に分類する。
• 線型写像と行列の乗法 Basis 線型写像をベクトル空間の間の構造を保存する関数として定義し、すべての線型写像が行列で表現されることを示し、行列の乗法がちょうど線型写像の合成に対応する理由を解説する。
• 線型スパン Basis ベクトルの集合のスパン（span）をその線型結合すべての集合として定義し、それが常にその集合を含む最小の部分空間であることを証明し、基底の基盤となるスパン集合を導入する。
• 線型部分空間 Basis 線型部分空間を加法とスカラー倍について閉じたベクトル空間の部分集合として定義し、主要な特徴付け定理を示し、線型代数全体に現れる重要な例を挙げる。
• 線型従属 Basis ベクトルの集合の線型従属と線型独立を定義し、ベクトルが「冗長な情報」を持つことの幾何学的意味を説明し、独立性を同次方程式系の解の一意性と結びつける。
• LU 分解 Basis ガウス消去法を使って正方行列を下三角行列と上三角行列に因数分解する方法を説明し、この因数分解が同じ係数行列に対して複数の右辺ベクトルを持つ線型方程式系の求解を劇的に高速化することを示す。
• 行列 Basis 行列（matrix）をベクトルの集まりを表す長方形の配列として導入し、基本演算を解説し、$m \times n$ 行列全体の集合がそれ自体ベクトル空間をなすことを示す。
• 行列式の性質 Basis 行列式の主要な性質を展開する：任意の行・列への拡張（ラプラス展開）、行変換が行列式に与える影響、転置の等式、乗法性、余因子行列を使った逆行列の公式、クラメルの公式。
• 次元定理（ランク・零化次元定理） Basis 線型写像の定義域の次元がランクと零化次元の和に等しいという次元定理（rank-nullity theorem）を証明し、正方行列と可逆性についての帰結を導く。
• 行空間と列空間 Basis 行列の行空間と列空間を行・列のスパンとして定義し、行変換が行空間の基底を与えること、ピボット列が列空間の基底を与えることを示し、両者の次元が常に一致することを証明してランクを導入する。
• 連立一次方程式の解の構造 Basis ランクを用いて Ax = b の解集合を分類する。rank(A) ≠ rank([A|b]) のとき解なし、両ランクが未知数の個数と等しいとき唯一解、それ以外は解のアフィン部分空間が存在する。ガウス・ジョルダン消去法とランク・零化域定理を結びつけて完全な全体像を与える。