行列式

すべての線型写像は空間を引き伸ばし、圧縮し、回転させ、あるいは反転させる。行列式（determinant）はその正味の効果を一つの数で捉える：写像が体積をスケーリングする符号付きの倍率だ。行列式が $2$ なら、写像はすべての体積を二倍にする；負なら向きも反転する；$0$ なら空間を完全に潰す——そして写像は可逆でなくなる。

2×2 の場合

2×2 行列

$A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$

の行列式（determinant）は：

\det(A) = ad - bc. \tag{1}

幾何学的意味は明快だ：$A$ の二つの列はベクトル $\mathbf{u} = (a, c)^\top$ と $\mathbf{v} = (b, d)^\top$ だ。$|\det(A)| = |ad - bc|$ は $\mathbf{u}$ と $\mathbf{v}$ が張る平行四辺形の面積に等しい。

符号は向きの情報を持つ。列が反時計回り（標準の向き）なら $\det(A) > 0$；時計回り（逆向き）なら $\det(A) < 0$；列が線型従属なら $\det(A) = 0$ ——平行四辺形は線分に潰れ面積がゼロになる。

3×3 の場合

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$

と書く。行列式は：

$$\det(A) = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}). \tag{2}$$

各括弧内の式はそれ自体 2×2 行列式だ——対応する成分の行 1 と列を削除した部分行列の行列式だ。「第 1 行に沿った展開」がこの一般定義の出発点だ。

一般定義

体 $F$ 上の $n \times n$ 行列 $A$ の行列式は第 1 行に沿った余因子展開によって再帰的に定義される：

\det(A) \coloneqq \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j}\, a_{1j}\, \det(A_{1j}), \tag{3}

ここで $A_{ij}$ は $A$ から第 $i$ 行と第 $j$ 列を削除して得られる $(n-1) \times (n-1)$ の小行列（minor）だ。スカラー：

$C_{ij} \coloneqq (-1)^{i+j} \det(A_{ij})$

を $A$ の $(i,j)$ 余因子（cofactor）という。基本ケースは $\det([a]) = a$（1×1 行列）。

行列式の性質で証明される主要定理の一つは、任意の行または列に沿って展開しても同じ値が得られるということだ。これは上の定義からは自明ではないが、実際の計算を大幅に柔軟にする。

幾何学的解釈

$\mathbb{R}^n$ において、$|\det(A)|$ は $A$ の列ベクトルが張る**$n$ 次元平行六面体の体積**（$n$-dimensional parallelepiped の $n$ 次元体積）だ。$\mathbb{R}^2$ では面積、$\mathbb{R}^3$ では通常の意味の体積だ。

符号は向きを示す：$\det(A) > 0$ は列が正に向いた基底（標準基底と同じ手性）をなすことを意味し；$\det(A) < 0$ は向きが逆になっていることを意味する。

$\det(A)$ は線型写像 $T_A(x) = Ax$ の体積スケーリング倍率なので：

$\operatorname{Vol}(T_A(S)) = |\det(A)| \cdot \operatorname{Vol}(S)$

が任意の有界領域 $S \subseteq \mathbb{R}^n$ に対して成り立つ。この等式は多変数積分の変数変換公式の基礎だ。

行列式と可逆性

行列式について最も重要な一つの事実：

A \text{ が可逆} \iff \det(A) \ne 0. \tag{4}

$\det(A) = 0$ なら、写像 $T_A$ は少なくとも一つの次元を潰している——体積がゼロになるので写像は逆にできない。$\det(A) \ne 0$ なら、写像は体積を非ゼロの倍率でスケーリングし全単射となり、したがって可逆だ。行列式を使った $A^{-1}$ の明示的な公式は行列式の性質で展開される。

まとめ

• 行列式 $\det(A)$ はすべての正方行列に割り当てられるスカラーであり、余因子展開によって再帰的に定義される：$\det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j} \det(A_{1j})$。
• $n = 1$ のとき：$\det([a]) = a$。$n = 2$ のとき：$\det\!\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} = ad - bc$。
• 幾何学的には、$|\det(A)|$ は $A$ の列が張る $n$ 次元平行六面体の体積；符号は向きを記録する。
• 線型写像 $T_A$ はすべての体積を $|\det(A)|$ 倍する。
• $A$ が可逆であることと $\det(A) \ne 0$ は同値だ。
• 実用的な計算と詳細な性質——任意の行・列への展開、行変換との関係、乗法性、逆行列の公式、クラメルの公式——は行列式の性質で扱う。