行列式（Determinant）

Basis
最後更新: 標籤: 線性代數

先備知識

每個線性映射都會伸展、壓縮、旋轉或反射它所作用的空間。**行列式（determinant）**以單一數值捕捉這種淨效果：它是映射縮放體積的帶號因子。如果行列式為 2，映射使每個體積加倍；若為負，映射還會翻轉定向；若為 0，映射將整個空間壓縮殆盡——此時映射不再可逆。

2×2 的情形

對於 2×2 矩陣

A=(abcd),A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix},

其行列式為

\det(A) = ad - bc. \tag{1}

幾何意義顯而易見：AA 的兩個直行是 R2\mathbb{R}^2 中的向量 u=(a,c)⊤\mathbf{u} = (a, c)^\top 和 v=(b,d)⊤\mathbf{v} = (b, d)^\top。量值 ∣det⁡(A)∣=∣ad−bc∣|\det(A)| = |ad - bc| 等於 u\mathbf{u} 與 v\mathbf{v} 所張出的平行四邊形面積。

符號攜帶定向資訊。若兩個直行呈逆時針方向（標準定向），則 det⁡(A)>0\det(A) > 0；若呈順時針方向（反轉定向），則 det⁡(A)<0\det(A) < 0；當直行線性相依時 det⁡(A)=0\det(A) = 0——平行四邊形退化為面積為零的線段。

3×3 的情形

寫

A=(a11a12a13a21a22a23a31a32a33).A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}.

其行列式為

det⁡(A)=a11(a22a33−a23a32)−a12(a21a33−a23a31)+a13(a21a32−a22a31).(2)\det(A) = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}). \tag{2}

括號內的每個表達式本身都是一個 2×2 行列式——即刪去第 1 列和對應元素所在直行後的子矩陣。這種「沿第一列展開」是一般定義的出發點。

一般定義

對於體 FF 上的 n×nn \times n 矩陣 AA，行列式以沿第 1 列餘因子展開的方式遞迴定義：

\det(A) \coloneqq \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j}\, a_{1j}\, \det(A_{1j}), \tag{3}

其中 AijA_{ij} 表示**(i,j)(i,j) 子矩陣（minor）**——從 AA 中刪去第 ii 列和第 jj 行後所得的 (n−1)×(n−1)(n-1) \times (n-1) 子矩陣。純量

Cij≔(−1)i+jdet⁡(Aij)C_{ij} \coloneqq (-1)^{i+j} \det(A_{ij})

稱為 AA 的**(i,j)(i,j) 餘因子（cofactor）**。邊界條件為：1×11 \times 1 矩陣時，det⁡([a])=a\det([a]) = a。

行列式的性質中證明了一個關鍵定理：沿任意列或行展開均得到相同的值。這個事實從上述定義看來遠非顯然，但在實際計算中使行列式的求值靈活許多。

幾何詮釋

在 Rn\mathbb{R}^n 中，∣det⁡(A)∣|\det(A)| 是由 AA 的直行向量所張出的**nn 維平行超體（parallelepiped）的體積**。在 R2\mathbb{R}^2 中這是面積，在 R3\mathbb{R}^3 中這是通常意義下的體積。

符號表示定向：det⁡(A)>0\det(A) > 0 意味著直行構成正定向基底（與標準基底的手向相同）；det⁡(A)<0\det(A) < 0 意味著定向被反轉。

由於 det⁡(A)\det(A) 是線性映射 TA(x)=AxT_A(x) = Ax 的體積縮放因子，對任意有界區域 S⊆RnS \subseteq \mathbb{R}^n 有

Vol⁡(TA(S))=∣det⁡(A)∣⋅Vol⁡(S).\operatorname{Vol}(T_A(S)) = |\det(A)| \cdot \operatorname{Vol}(S).

此等式是多變數積分換元公式的基礎。

行列式與可逆性

關於行列式最重要的單一事實：

A \text{ 可逆} \iff \det(A) \ne 0. \tag{4}

若 det⁡(A)=0\det(A) = 0，映射 TAT_A 至少壓縮了一個維度——體積變為零，映射因此無法被反轉。若 det⁡(A)≠0\det(A) \ne 0，映射以非零因子縮放體積，從而是雙射，即可逆。利用行列式給出 A−1A^{-1} 的顯式公式，在行列式的性質中進一步展開。

摘要

  • 行列式 det⁡(A)\det(A) 是指派給每個方陣的純量，以餘因子展開遞迴定義：det⁡(A)=∑j=1n(−1)1+ja1jdet⁡(A1j)\det(A) = \sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j} \det(A_{1j})。
  • 當 n=1n = 1 時：det⁡([a])=a\det([a]) = a。當 n=2n = 2 時：det⁡ ⁣(abcd)=ad−bc\det\!\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} = ad - bc。
  • 幾何上，∣det⁡(A)∣|\det(A)| 是由 AA 的直行所張出的 nn 維平行超體體積；符號記錄定向。
  • 線性映射 TAT_A 將所有體積縮放 ∣det⁡(A)∣|\det(A)| 倍。
  • AA 可逆當且唯當 det⁡(A)≠0\det(A) \ne 0。
  • 實際計算及進一步性質——沿任意列或行展開、列運算規則、乘積性、逆矩陣公式、克拉瑪法則——在行列式的性質中介紹。