線性映射與矩陣乘法

Basis
最後更新: 標籤: 線性代數

先備知識

矩陣不只是一個用來儲存和存取的數字格——它編碼了向量空間之間的一個函式。理解這層聯繫是線性代數的核心：所有關於矩陣的問題，本質上都是關於保結構函式的問題；而每一個這樣的函式都可以用矩陣來捕捉。

線性映射

線性映射（linear map）（又稱線性變換（linear transformation））是體 FF 上向量空間之間的函式 T:V→WT: V \to W，它遵從向量空間的運算。精確地說，TT 是線性的，若對所有 u,v∈Vu, v \in V 和所有 c∈Fc \in F：

  1. T(u+v)=T(u)+T(v)T(u + v) = T(u) + T(v)  （可加性（additivity））
  2. T(cu)=c⋅T(u)T(cu) = c \cdot T(u)  （齊次性（homogeneity））

這兩個條件合在一起稱為線性性（linearity）。它們可以合並為單一的等價條件：對所有 u,v∈Vu, v \in V 和所有 c,d∈Fc, d \in F，

T(cu+dv)=c T(u)+d T(v).T(cu + dv) = c\,T(u) + d\,T(v).

換句話說，TT 保持線性組合。滿足線性性的映射與兩邊向量空間的結構「完美配合」。

直接推論

由線性性立即可得兩個重要性質：

  • T(0V)=0WT(\mathbf{0}_V) = \mathbf{0}_W。（在齊次性中令 c=0c = 0。）
  • T(−v)=−T(v)T(-v) = -T(v)。（在齊次性中令 c=−1c = -1。）

線性映射必須將零向量送到零向量；若你發現某個函式 TT 滿足 T(0)≠0T(\mathbf{0}) \ne \mathbf{0}，它就不是線性的。

範例

  • 縮放：T:R→RT: \mathbb{R} \to \mathbb{R}，T(x)=cxT(x) = cx（cc 為固定常數）——以 cc 縮放是線性的。
  • R2\mathbb{R}^2 中的旋轉：將每個向量旋轉固定角度 θ\theta 是 R2\mathbb{R}^2 上的線性映射。
  • 投影：T:R3→R3T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3，定義為 T(x,y,z)=(x,y,0)T(x, y, z) = (x, y, 0)，是線性的——它投影到 xyxy 平面。
  • 零映射：T(v)=0T(v) = \mathbf{0}（對所有 vv）是平凡地線性的。

用矩陣表示線性映射

固定 VV 的基底 B={e1,…,en}\mathcal{B} = \{e_1, \ldots, e_n\} 和 WW 的基底 C={f1,…,fm}\mathcal{C} = \{f_1, \ldots, f_m\}。由於 TT 是線性的，整個映射由它將基底向量送往何處完全決定。VV 中的每個 vv 可以唯一地寫成 v=∑j=1nxjejv = \sum_{j=1}^n x_j e_j，從而

T(v)=∑j=1nxj T(ej).T(v) = \sum_{j=1}^n x_j\, T(e_j).

所以只要知道 T(e1),…,T(en)T(e_1), \ldots, T(e_n)，就足以知道 TT 在 VV 上的所有值。將每個像 T(ej)T(e_j) 用 WW 的基底的座標表示：

T(ej)=∑i=1maij fi.T(e_j) = \sum_{i=1}^m a_{ij}\, f_i.

TT 的矩陣（相對於 B\mathcal{B} 和 C\mathcal{C}）是 m×nm \times n 矩陣 AA，其第 jj 行是 T(ej)T(e_j) 的座標向量。元素 aija_{ij} 位於第 ii 列第 jj 行。

矩陣作為線性映射

反之，FF 上每個 m×nm \times n 矩陣 AA 定義了一個線性映射 TA:Fn→FmT_A: F^n \to F^m，為

TA(x)≔Ax,x∈Fn,T_A(x) \coloneqq Ax, \quad x \in F^n,

其中 xx 作為行向量。AxAx 的第 ii 個分量是 ∑j=1naijxj\sum_{j=1}^n a_{ij} x_j——AA 第 ii 橫列與 xx 的點積。可以直接從這個公式驗證 TAT_A 滿足線性性。

矩陣乘法作為合成

假設有兩個線性映射：

T:U→V矩陣為 A,S:V→W矩陣為 B.T: U \to V \quad \text{矩陣為 } A, \qquad S: V \to W \quad \text{矩陣為 } B.

它們的合成 S∘T:U→WS \circ T: U \to W 也是線性映射。它的矩陣是什麼？

若 AA 是 n×pn \times p（即 T:Fp→FnT: F^p \to F^n），BB 是 m×nm \times n（即 S:Fn→FmS: F^n \to F^m），則 S∘TS \circ T 的矩陣是 m×pm \times p 矩陣 BABA，其中

(BA)_{ij} \coloneqq \sum_{k=1}^{n} b_{ik}\, a_{kj}. \tag{1}

這正是矩陣乘法的定義。BABA 的 (i,j)(i,j) 分量由 BB 的第 ii 橫列與 AA 的第 jj 直行的點積給出。注意順序：S∘TS \circ T 的矩陣是 BABA，而非 ABAB——最右邊的矩陣對應先施行的映射。

為使此乘積有定義，BB 的直行數必須等於 AA 的橫列數（兩者都等於 nn，即中間空間 VV 的維度）。

不可交換性

矩陣乘法一般不可交換：即使乘積 ABAB 和 BABA 都有定義且形狀相同（這要求 AA 和 BB 都是相同大小的方陣），通常仍有 AB≠BAAB \ne BA。這反映了以不同順序施行兩個變換通常會得到不同結果。

結合律

矩陣乘法滿足結合律：只要維度相容，(AB)C=A(BC)(AB)C = A(BC)。這從函式合成的結合律 (S∘T)∘U=S∘(T∘U)(S \circ T) \circ U = S \circ (T \circ U) 推出。

線性映射的向量空間

所有從 VV 到 WW 的線性映射的集合，記作 L(V,W)\mathcal{L}(V, W)，本身也是一個向量空間。加法和純量乘法定義為逐點運算：

  • (S+T)(v)≔S(v)+T(v)(S + T)(v) \coloneqq S(v) + T(v)
  • (cT)(v)≔c T(v)(cT)(v) \coloneqq c\,T(v)

兩種運算都產生線性映射，且所有向量空間公理都成立。在線性映射與矩陣之間的對應關係下（固定基底後），L(V,W)\mathcal{L}(V, W) 與 Mm,n(F)M_{m,n}(F) 同構。

摘要

  • 線性映射 T:V→WT: V \to W 滿足 T(cu+dv)=cT(u)+dT(v)T(cu + dv) = cT(u) + dT(v)（對所有向量和純量）。
  • 它始終將 0V\mathbf{0}_V 送往 0W\mathbf{0}_W，且其行為完全由它將基底送往何處決定。
  • 有限維空間之間的每個線性映射都有一個矩陣表示：各直行是基底向量的像的座標。
  • 反之，每個矩陣 AA 透過 x↦Axx \mapsto Ax 定義一個線性映射。
  • 矩陣乘法 (BA)ij=∑kbikakj(BA)_{ij} = \sum_k b_{ik} a_{kj} 恰好對應線性映射的合成——先施行 AA，再施行 BB。
  • 矩陣乘法滿足結合律，但一般不可交換。
  • L(V,W)\mathcal{L}(V, W) 在逐點運算下是向量空間，與 Mm,n(F)M_{m,n}(F) 同構。