線性 — Project Hematite

如果你把輸入加倍，輸出也跟著加倍，你就發現了一個強大的性質。**線性（linearity）**是數學中最簡單的結構性質之一，它無處不在——從物理學到電腦圖形學，再到機器學習。

兩條規則

一個函式 $f$ 是線性的，如果對所有合法的輸入 $x$ 、 $y$ 以及任意實數 $c$ ，它滿足兩條規則：

規則 1——可加性（Additivity）。 將 $f$ 應用於和，等同於先求各輸出後再求和：

f(x + y) = f(x) + f(y) \tag{1}

規則 2——齊次性（Homogeneity）。 縮放輸入，輸出也以同樣的因子縮放：

f(cx) = c \cdot f(x) \tag{2}

規則 (1) 和 (2) 通常合寫成一個條件：

f(ax + by) = a \cdot f(x) + b \cdot f(y) \tag{3}

方程式 (3) 說明 $f$ 保留結構：無論是先組合輸入再套用 $f$ ，還是先套用 $f$ 再組合輸出，結果相同。

設 $f(x) = 5x$ 。驗證兩條規則：

再試試 $g(x) = x^2$ ：

可加性： $g(x + y) = (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ ，當 $xy \neq 0$ 時，這不等於 $x^2 + y^2 = g(x) + g(y)$ 。✗

所以乘以常數是線性的；平方則不是。

注意，像 $h(x) = 3x + 2$ 這樣的直線函式在圖形上看起來是線性的，但它不滿足規則 1，因為 $h(0) = 2 \neq 0$ 。這種形狀的函式叫做仿射（affine），而不是線性。

方程式 (3) 在你有超過兩項時自然地延伸。一組物件 $v_1, v_2, \ldots, v_k$ 的**線性組合（linear combination）**是任何形如以下的表達式：

c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_k v_k

其中 $c_1, \ldots, c_k$ 是稱為**係數（coefficients）**的實數。線性映射精確地保留線性組合：

f(c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k) = c_1 f(v_1) + \cdots + c_k f(v_k)

這意味著你可以把任何輸入分解成更簡單的部分，對每個部分套用 $f$ ，然後重新組合——一個使線性問題遠比非線性問題容易求解的技巧。

線性組合是有限維向量空間的基礎建立塊，在那裡你會看到這些概念如何組織成豐富的代數結構。