可逆矩陣（Invertible Matrix）

Basis
最後更新: 標籤: 線性代數

先備知識

矩陣 AA 所編碼的線性映射 TAT_A 將每個向量 xx 變換為 AxAx。你總能回到原來嗎？可逆矩陣正是那些答案為「是」的矩陣——這個變換可以被完美地撤銷。

定義

設 AA 是體 FF 上的 n×nn \times n 方陣。若存在 n×nn \times n 矩陣 BB 使得

AB=In且BA=In,(1)AB = I_n \qquad \text{且} \qquad BA = I_n, \tag{1}

則稱 AA 是可逆的（invertible）（又稱非奇異（non-singular）），其中 InI_n 是 n×nn \times n 單位矩陣。矩陣 BB 稱為 AA 的逆矩陣（inverse），記作 A−1A^{-1}。

不可逆的矩陣稱為奇異矩陣（singular matrix）。

只有方陣才能是可逆的：m≠nm \ne n 的非方形 m×nm \times n 矩陣表示不同維度空間之間的映射，不可能有同型的雙側逆矩陣。

逆矩陣的唯一性

假設 BB 和 CC 都滿足 (1)，則：

B=BIn=B(AC)=(BA)C=InC=C.B = B I_n = B(AC) = (BA)C = I_n C = C.

所以 B=CB = C——每個可逆矩陣恰好有一個逆矩陣。記號 A−1A^{-1} 是無歧義的。

可逆性與線性映射

根據線性映射與矩陣乘法，你知道 n×nn \times n 矩陣 AA 表示線性映射 TA:Fn→FnT_A: F^n \to F^n。條件 AB=BA=InAB = BA = I_n 說明 TBT_B 既是 TAT_A 作為函式的左逆也是右逆。因此：

AA 可逆當且唯當 TA:Fn→FnT_A: F^n \to F^n 是雙射。

當 TAT_A 是雙射時，其逆函式 TA−1T_A^{-1} 也是線性的，且其矩陣就是 A−1A^{-1}。

透過高斯-喬登消去法刻畫可逆性

根據高斯-喬登消去法，你知道對矩陣進行列化簡要麼產生 nn 個樞軸行（每行一個），要麼至少留下一個自由行。對於 n×nn \times n 方陣，這兩種結果互斥且窮盡——沒有中間情況。這給出了完整的刻畫：

體 FF 上 n×nn \times n 矩陣 AA 的以下命題等價：

  1. AA 是可逆的。
  2. AA 的 RREF 是 InI_n。
  3. AA 有 nn 個樞軸行。
  4. Ax=0Ax = \mathbf{0} 的唯一解是 x=0x = \mathbf{0}。
  5. 對每個 b∈Fnb \in F^n，方程組 Ax=bAx = b 恰好有一個解。
  6. AA 的各直行線性獨立。

奇異矩陣範例。 對 B=(1224)B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}：施行 R2←R2−2R1R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 得 (1200)\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}。第二行沒有樞軸，故 BB 是奇異的。映射 TBT_B 將整個平面壓縮到一條直線上——你無法回去。

用高斯-喬登消去法計算逆矩陣

若 AA 可逆，可以透過將 AA 與單位矩陣拼接後對整個擴增矩陣進行列化簡來計算 A−1A^{-1}：

[A∣In]→RREF[In∣A−1].(2)[A \mid I_n] \xrightarrow{\text{RREF}} [I_n \mid A^{-1}]. \tag{2}

原理。 每個基本列運算都是左乘一個可逆的基本矩陣。若將 AA 化為 InI_n 的那些運算對應於左乘 EE，則 EA=InEA = I_n，故 E=A−1E = A^{-1}。對 InI_n 施行相同運算，得 EIn=E=A−1E I_n = E = A^{-1}。

若列化簡在左側出現零列，則 AA 是奇異的，沒有逆矩陣。

範例。 計算 A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} 的逆矩陣 A−1A^{-1}：

(12103401)→R2←R2−3R1(12100−2−31)\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1} \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -3 & 1 \end{array}\right) →R2←−12R2(12100132−12)→R1←R1−2R2(10−210132−12)\xrightarrow{R_2 \leftarrow -\frac{1}{2}R_2} \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{array}\right) \xrightarrow{R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2} \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{array}\right)

故 A−1=(−2132−12)A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}。驗證：AA−1=(1234)(−2132−12)=(1001)AA^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}。

2×2 的捷徑

對於 R\mathbb{R} 上的 A=(abcd)A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}，公式化簡為：

A−1=1ad−bc(d−b−ca),(3)A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}, \tag{3}

前提是 ad−bc≠0ad - bc \ne 0。量值 ad−bcad - bc 正是行列式 det⁡(A)\det(A)；它非零恰好等價於 AA 可逆。對於 3×33 \times 3 及更大的矩陣，高斯-喬登法是系統性的做法（完整論述見行列式）。

逆矩陣的性質

以下等式均直接由定義 AA−1=A−1A=InAA^{-1} = A^{-1}A = I_n 推出：

等式說明
(A−1)−1=A(A^{-1})^{-1} = AAA 是 A−1A^{-1} 的逆
(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}撤銷合成需要反序
(AT)−1=(A−1)T(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T轉置與取逆可交換
(cA)−1=c−1A−1(cA)^{-1} = c^{-1}A^{-1}（c≠0c \ne 0）縮放以倒數取逆

乘積規則 (AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} 映射了日常的可逆性：先穿襪子再穿鞋，撤銷時需先脫鞋再脫襪子。

摘要

  • n×nn \times n 矩陣 AA 可逆，如果存在 BB 使得 AB=BA=InAB = BA = I_n；此 BB 是唯一的，記作 A−1A^{-1}。
  • 可逆性等價於：AA 的 RREF 是 InI_n；AA 有 nn 個樞軸行；Ax=0Ax = \mathbf{0} 只有平凡解；Ax=bAx = b 對每個 bb 都有唯一解。
  • 用高斯-喬登消去法計算 A−1A^{-1}：對 [A∣In][A \mid I_n] 列化簡至 [In∣A−1][I_n \mid A^{-1}]。
  • 關鍵等式：(A−1)−1=A(A^{-1})^{-1} = A，(AB)−1=B−1A−1(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}，(AT)−1=(A−1)T(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T。
  • 對 2×22 \times 2 矩陣：當 det⁡(A)=ad−bc≠0\det(A) = ad - bc \ne 0 時，A−1=1det⁡(A)(d−b−ca)A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}。