正則行列 — Project Hematite

行列 $A$ がエンコードする線型写像 $T_A$ はすべてのベクトル $x$ を $Ax$ に変換する。常に元に戻せるだろうか？正則行列（invertible matrix）とはまさにその答えが「はい」の場合——変換を完全に元に戻せる場合だ。

定義

体 $F$ 上の $n \times n$ 正方行列 $A$ が正則（invertible、非特異（non-singular）とも）であるとは、 $n \times n$ 行列 $B$ が存在して：

AB = I_n \qquad \text{かつ} \qquad BA = I_n \tag{1}

が成り立つことをいう（ $I_n$ は $n \times n$ 単位行列）。行列 $B$ を $A$ の逆行列（inverse）と呼び $A^{-1}$ と書く。

正則でない行列を特異行列（singular matrix）という。

正方行列だけが正則になれる： $m \ne n$ の非正方 $m \times n$ 行列は異なる次元の空間の間の写像を表し、同じ型の両側逆行列を持てない。

逆行列の一意性

$B$ と $C$ がともに (1) を満たすとする。すると：

B = B I_n = B(AC) = (BA)C = I_n C = C.

したがって $B = C$ ——すべての正則行列はちょうど一つの逆行列を持つ。記法 $A^{-1}$ は曖昧でない。

正則性と線型写像

線型写像と行列の乗法から、 $n \times n$ 行列 $A$ は線型写像 $T_A: F^n \to F^n$ を表すことがわかる。 $AB = BA = I_n$ という条件は $T_B$ が $T_A$ の（関数としての）左・右逆写像であることを言う。したがって：

$A$ が正則であることと $T_A: F^n \to F^n$ が全単射であることは同値だ。

$T_A$ が全単射なら、その逆関数 $T_A^{-1}$ もまた線型であり、その行列が $A^{-1}$ だ。

ガウス・ジョルダンによる正則性の判定

ガウス・ジョルダン消去法から、行列の行簡約は $n$ 個のピボット列（一列につき一つ）を生成するか、少なくとも一つの自由列を残すかのどちらかだ。正方 $n \times n$ 行列では、この二つの結果は相互に排他的で網羅的だ——中間はない。これにより完全な判定基準が得られる：

$F$ 上の $n \times n$ 行列 $A$ に対して、次の主張はすべて同値だ：

$A$ は正則だ。
$A$ の RREF は $I_n$ だ。
$A$ は $n$ 個のピボット列を持つ。
$Ax = \mathbf{0}$ の唯一の解は $x = \mathbf{0}$ だ。
すべての $b \in F^n$ に対して方程式系 $Ax = b$ はちょうど一つの解を持つ。
$A$ の列は線型独立だ。

特異行列の例. $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ ： $R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$ を適用すると $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 。第 2 列にピボットがないので $B$ は特異だ。写像 $T_B$ は平面全体を直線に潰す——元に戻すことはできない。

ガウス・ジョルダン消去法による逆行列の計算

$A$ が正則なら、 $A$ に単位行列を付け加えてブロック全体を行簡約することで $A^{-1}$ を計算できる：

[A \mid I_n] \xrightarrow{\text{RREF}} [I_n \mid A^{-1}]. \tag{2}

なぜ機能するか. すべての基本行変換は可逆な基本行列による左乗算だ。 $A$ を $I_n$ に簡約する操作の列が左乗算 $E$ に対応するなら $EA = I_n$ よりつまり $E = A^{-1}$ だ。同じ操作を $I_n$ に適用すると $E I_n = E = A^{-1}$ が得られる。

左辺にゼロ行が現れたら $A$ は特異であり逆行列を持たない。

例. $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ の逆行列を計算する：

\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 0 & 1 \end{array}\right) \xrightarrow{R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1} \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & -3 & 1 \end{array}\right)

\xrightarrow{R_2 \leftarrow -\frac{1}{2}R_2} \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{array}\right) \xrightarrow{R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2} \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{array}\right)

したがって $A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix}$ 。検証： $AA^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 。

2×2 の公式

$\mathbb{R}$ 上の $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ に対して、公式は簡略化される：

A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}, \tag{3}

ただし $ad - bc \ne 0$ のとき。量 $ad - bc$ は行列式 $\det(A)$ であり、 $A$ が正則なとき非ゼロだ。 $3 \times 3$ 以上ではガウス・ジョルダン消去法が系統的なアプローチだ（一般論は行列式を参照）。

逆行列の性質

次の等式はすべて定義 $AA^{-1} = A^{-1}A = I_n$ から直接従う：

等式	説明
$(A^{-1})^{-1} = A$	$A$ は $A^{-1}$ の逆行列
$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$	合成を元に戻すと順序が逆になる
$(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$	転置と逆行列は可換
$(cA)^{-1} = c^{-1}A^{-1}$ （ $c \ne 0$ ）	スケーリングは逆数で元に戻す

積の規則 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ は日常的な可逆性を反映する：靴下をはいてから靴をはいた場合、元に戻すには靴を先に脱がなければならない。

まとめ

$n \times n$ 行列 $A$ が正則であるとは、 $AB = BA = I_n$ を満たす $B$ が存在することであり；この $B$ は一意で $A^{-1}$ と書く。
正則性は次と同値だ： $A$ の RREF が $I_n$ である； $A$ が $n$ 個のピボット列を持つ； $Ax = \mathbf{0}$ の解が自明解のみ；すべての $b$ に対し $Ax = b$ が唯一解を持つ。
$A^{-1}$ の計算： $[A \mid I_n]$ を $[I_n \mid A^{-1}]$ にガウス・ジョルダン行簡約する。
主要等式： $(A^{-1})^{-1} = A$ 、 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ 、 $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$ 。
$2 \times 2$ 行列では： $\det(A) = ad - bc \ne 0$ のとき $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ 。