線型写像と行列の乗法

行列は単なる数値の格子ではなく、ベクトル空間の間の関数をエンコードするものだ。この対応を理解することが線型代数の核心だ：行列に関するすべての問いは実は構造を保存する関数に関する問いであり、そのような関数はすべて行列で捉えられる。

線型写像

線型写像（linear map、線型変換（linear transformation）とも）とは、体 $F$ 上のベクトル空間 $V$ から $W$ への関数 $T: V \to W$ であって、ベクトル空間の演算を保存するものだ。正確には、 $T$ が線型であるとはすべての $u, v \in V$ とすべての $c \in F$ に対して：

$T(u + v) = T(u) + T(v)$ （加法性、additivity）
$T(cu) = c \cdot T(u)$ （斉次性、homogeneity）

この二条件を合わせて線型性（linearity）という。これらはすべての $u, v \in V$ とすべての $c, d \in F$ に対して次の同値な条件にまとめられる：

$T(cu + dv) = c\,T(u) + d\,T(v).$

つまり $T$ は線型結合を保存する。線型性を満たす写像は両辺のベクトル空間の構造と「うまく折り合う」。

直ちに従う性質

線型性から二つの重要な性質が直ちに従う：

$T(\mathbf{0}_V) = \mathbf{0}_W$ 。（斉次性で $c = 0$ とする。）
$T(-v) = -T(v)$ 。（斉次性を $c = -1$ で適用。）

線型写像は必ず零ベクトルを零ベクトルに送る； $T(\mathbf{0}) \ne \mathbf{0}$ となる関数 $T$ を見つけたら、それは線型ではない。

例

スケーリング： $T: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 、 $T(x) = cx$ （固定定数 $c$ によるスケーリング）は線型だ。
$\mathbb{R}^2$ での回転：固定角度 $\theta$ によるすべてのベクトルの回転は $\mathbb{R}^2$ 上の線型写像だ。
射影（projection）： $T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ 、 $T(x, y, z) = (x, y, 0)$ は線型—— $xy$ 平面への射影。
零写像：すべての $v$ に対して $T(v) = \mathbf{0}$ は自明に線型だ。

線型写像の行列による表現

$V$ の基底 $\mathcal{B} = \{e_1, \ldots, e_n\}$ と $W$ の基底 $\mathcal{C} = \{f_1, \ldots, f_m\}$ を固定する。 $T$ は線型なので、写像全体は基底ベクトルをどこに送るかで決まる。すべての $v \in V$ は $v = \sum_{j=1}^n x_j e_j$ と一意に書け：

$T(v) = \sum_{j=1}^n x_j\, T(e_j).$

だから $T(e_1), \ldots, T(e_n)$ を知れば $V$ 上の $T$ がわかる。各像 $T(e_j)$ を $W$ の基底の座標で書く：

$T(e_j) = \sum_{i=1}^m a_{ij}\, f_i.$

$T$ の行列（基底 $\mathcal{B}$ と $\mathcal{C}$ に関する）は $m \times n$ 行列 $A$ であり、その第 $j$ 列が $T(e_j)$ の座標ベクトルだ。成分 $a_{ij}$ は第 $i$ 行第 $j$ 列にある。

線型写像としての行列

逆に、 $F$ 上のすべての $m \times n$ 行列 $A$ は線型写像 $T_A: F^n \to F^m$ を次で定義する：

$T_A(x) \coloneqq Ax, \quad x \in F^n,$

ここで $x$ は列ベクトルとして扱う。 $Ax$ の第 $i$ 成分は $\sum_{j=1}^n a_{ij} x_j$ —— $A$ の第 $i$ 行と $x$ の内積だ。 $T_A$ がこの式から線型性を直接満たすことを確認できる。

行列の乗法は合成として

次の二つの線型写像があるとしよう：

$T: U \to V \quad \text{（行列 } A）, \qquad S: V \to W \quad \text{（行列 } B）.$

その合成（composition） $S \circ T: U \to W$ もまた線型写像だ。その行列は？

$A$ が $n \times p$ （したがって $T: F^p \to F^n$ ）で $B$ が $m \times n$ （したがって $S: F^n \to F^m$ ）なら、 $S \circ T$ の行列は $m \times p$ 行列 $BA$ であり：

$(BA)_{ij} \coloneqq \sum_{k=1}^{n} b_{ik}\, a_{kj}. \tag{1}$

これが行列の乗法（matrix multiplication）の定義だ。 $BA$ の $(i,j)$ 成分は $B$ の第 $i$ 行と $A$ の第 $j$ 列の内積で計算する。順序に注目： $S \circ T$ の行列は $BA$ であり $AB$ ではない——右側の行列が最初に適用される写像に対応する。

この積が定義されるためには、 $B$ の列数が $A$ の行数に等しくなければならない（どちらも上では $n$ で、中間空間 $V$ の次元）。

非可換性

行列の乗法は一般に非可換（non-commutative）だ： $AB$ と $BA$ の両方が定義されて同じ形を持つ（これには $A$ と $B$ が同じサイズの正方行列であることが必要）場合でも、通常 $AB \ne BA$ だ。これは二つの変換を異なる順序で適用すると一般に異なる結果が得られるという事実を反映している。

結合性

行列の乗法は結合的（associative）だ：次元が適合する限り $(AB)C = A(BC)$ 。これは関数合成の結合性 $(S \circ T) \circ U = S \circ (T \circ U)$ から従う。

線型写像のベクトル空間

$V$ から $W$ へのすべての線型写像の集合 $\mathcal{L}(V, W)$ はそれ自体ベクトル空間だ。加法とスカラー倍を点ごとに定義する：

$(S + T)(v) \coloneqq S(v) + T(v)$
$(cT)(v) \coloneqq c\,T(v)$

どちらの演算も線型写像を生み出し、すべてのベクトル空間の公理が成り立つ。基底を固定した線型写像と行列の対応のもとで、 $\mathcal{L}(V, W)$ は $M_{m,n}(F)$ と同型だ。

まとめ

線型写像 $T: V \to W$ はすべてのベクトルとスカラーに対して $T(cu + dv) = cT(u) + dT(v)$ を満たす。
$\mathbf{0}_V$ を $\mathbf{0}_W$ に送り、その挙動は基底の送り先によって完全に決まる。
有限次元空間の間のすべての線型写像は行列表現を持つ：列が基底ベクトルの座標での像だ。
逆に、すべての行列 $A$ は $x \mapsto Ax$ によって線型写像を定義する。
行列の乗法 $(BA)_{ij} = \sum_k b_{ik} a_{kj}$ はちょうど線型写像の合成に対応する—— $A$ を先に適用し、次に $B$ 。
行列の乗法は結合的だが一般に非可換だ。
$\mathcal{L}(V, W)$ は点ごとの演算のもとでベクトル空間であり、 $M_{m,n}(F)$ と同型だ。