像とランク

Basis
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前提知識

核が線型写像の「破壊するもの」——ゼロに送る入力——を捉えるのに対して、像は「生み出すもの」を捉える：写像が生成できるすべての出力の集まりだ。像を知れば、どの目標ベクトルに「到達できるか」がわかり、その次元であるランクは写像が余域をどれだけ「埋める」かを測る。

定義

線型写像 T:V→WT: V \to W の像（image、値域（range）とも）とは、TT が生成できるすべての出力の集合だ：

im(T)≔{T(v):v∈V}={w∈W:∃ v∈V で T(v)=w}.\text{im}(T) \coloneqq \{T(v) : v \in V\} = \{w \in W : \exists\, v \in V \text{ で } T(v) = w\}.

像は余域 WW の中に住む。w∈Ww \in W が im(T)\text{im}(T) に属することは、方程式 T(v)=wT(v) = w が少なくとも一つの解 v∈Vv \in V を持つことと同値だ。

像は部分空間

主張：im(T)\text{im}(T) は WW の線型部分空間だ。

証明：T(0V)=0WT(\mathbf{0}_V) = \mathbf{0}_W より 0W∈im(T)\mathbf{0}_W \in \text{im}(T)。w1,w2∈im(T)w_1, w_2 \in \text{im}(T) と c,d∈Fc, d \in F を任意に取る。T(v1)=w1T(v_1) = w_1 かつ T(v2)=w2T(v_2) = w_2 となる v1,v2∈Vv_1, v_2 \in V が存在する。線型性から：

cw1+dw2=c T(v1)+d T(v2)=T(cv1+dv2)∈im(T).c w_1 + d w_2 = c\,T(v_1) + d\,T(v_2) = T(cv_1 + dv_2) \in \text{im}(T).

したがって im(T)\text{im}(T) は線型結合について閉じており、部分空間だ。□\square

列空間

行列 A∈Mm,n(F)A \in M_{m,n}(F) について、A=[a1∣a2∣⋯∣an]A = [a_1 \mid a_2 \mid \cdots \mid a_n] と書く（aj∈Fma_j \in F^m が AA の列）。対応する写像 TA(x)=AxT_A(x) = Ax の像は：

im(A)={Ax:x∈Fn}.\text{im}(A) = \{Ax : x \in F^n\}.

積 AxAx はすべて AA の列の線型結合だ：

Ax=x1 a1+x2 a2+⋯+xn an.Ax = x_1\,a_1 + x_2\,a_2 + \cdots + x_n\,a_n.

したがって AA の像はその列のスパンに等しい。FmF^m のこの部分空間を AA の列空間（column space）と呼び、しばしば col(A)\text{col}(A) と書く：

col(A)=span(a1,a2,…,an).\text{col}(A) = \text{span}(a_1, a_2, \ldots, a_n).

b∈Fmb \in F^m が col(A)\text{col}(A) に属することは、方程式系 Ax=bAx = b が少なくとも一つの解を持つこと——線型方程式系で議論した無矛盾性の条件——と同値だ。

全射性

写像 T:V→WT: V \to W が全射（surjective、onto）であることは im(T)=W\text{im}(T) = W——WW のすべてのベクトルに到達できる——と同値だ。行列 A∈Mm,n(F)A \in M_{m,n}(F) に対して、全射性は列空間が FmF^m 全体を埋めることを意味し、AA の RREF がすべての行にピボットを持つ場合にちょうど起こる。

ランク

線型写像 TT のランク（rank）とはその像の次元だ：

rank(T)≔dim⁡(im(T)).\text{rank}(T) \coloneqq \dim(\text{im}(T)).

行列に対して、rank(A)\text{rank}(A) は AA の RREF のピボット行の数に等しく、これはまた AA の線型独立な列の数にも等しい。

重要な定理（その証明は RREF の議論を使う）として、行列のランクは列空間の次元と行空間の次元の両方に等しい。すなわち：線型独立な列の数は常に線型独立な行の数に等しい。

像とランクの計算

im(A)\text{im}(A) と rank(A)\text{rank}(A) を求めるには、AA にガウス・ジョルダン消去法を適用する：

  1. AA を RREF に簡約する。
  2. ピボットの数を数える——これが rank(A)\text{rank}(A) だ。
  3. AA（RREF からではなく元の AA）のピボット列（RREF でピボット位置に対応する列）が col(A)\text{col}(A) の基底をなす。

重要：行変換は列ベクトルを変えるが、どの列がピボット列かは保存する。したがって、ピボット列はRREF からではなく元の行列 AA から取らなければならない。

計算例

A=(121243122).A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}.

ガウス・ジョルダンを適用する。R2←R2−2R1R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1、R3←R3−R1R_3 \leftarrow R_3 - R_1：

(121001001).\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

R3←R3−R2R_3 \leftarrow R_3 - R_2：

(121001000).\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

R1←R1−R2R_1 \leftarrow R_1 - R_2（後退掃引）：

(120001000).\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

これが RREF だ。2 個のピボット（列 1 と列 3）があるので rank(A)=2\text{rank}(A) = 2。元の AA の第 1 列と第 3 列が col(A)\text{col}(A) の基底をなす：

col(A)=span ⁣{(121), (132)}.\text{col}(A) = \text{span}\!\left\{ \begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix} \right\}.

まとめ

  • 像 im(T)={T(v):v∈V}\text{im}(T) = \{T(v) : v \in V\} は常に余域 WW の部分空間だ。
  • 行列 AA に対して、像は列空間 col(A)=span(a1,…,an)\text{col}(A) = \text{span}(a_1, \ldots, a_n) に等しく、Ax=bAx = b が無矛盾であることと b∈col(A)b \in \text{col}(A) は同値だ。
  • TT が全射であることは im(T)=W\text{im}(T) = W（すべての出力に到達できる）と同値だ。
  • ランク rank(T)=dim⁡(im(T))\text{rank}(T) = \dim(\text{im}(T)) は AA の RREF のピボットの数に等しい。
  • ピボット列は元の行列から取る必要がある。
  • ランクは列空間と行空間の両方の次元に等しい。