線型部分空間

Basis
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前提知識

ベクトル空間の任意の部分集合がそれ自体ベクトル空間になるわけではない。ランダムな部分集合は零ベクトルを含まないかもしれないし、二つの元を足すと部分集合の「外に出て」しまうかもしれない。線型部分空間（linear subspace）はベクトル空間の構造を保存する部分集合であり、線型代数のどこにでも自然に現れる：核として、像として、同次方程式系の解集合として。

定義

体 FF 上のベクトル空間 VV を考える。空でない部分集合 W⊆VW \subseteq V が VV の線型部分空間（単に部分空間とも）であるとは、次の三つの条件をすべて満たすことをいう：

  1. 0∈W\mathbf{0} \in W （零ベクトルが WW に属する）
  2. u,v∈W  ⟹  u+v∈Wu, v \in W \implies u + v \in W （加法について閉じている）
  3. u∈W, c∈F  ⟹  cu∈Wu \in W,\ c \in F \implies cu \in W （スカラー倍について閉じている）

これらが成り立つとき、WW は VV と同じ演算を使ってそれ自体ベクトル空間になる。結合性、分配性などすべてのベクトル空間の公理は VV から自動的に受け継がれる。なぜなら WW の元と演算は WW に制限した VV のものにすぎないからだ。上の三条件だけを確認すれば十分だ。

部分空間判定基準

条件 2 と 3 を合わせると、WW はすべての線型結合について閉じているということだ。これにより簡潔なテストが得られる：

部分空間判定基準：空でない部分集合 W⊆VW \subseteq V が VV の部分空間であることは次と同値だ：

u,v∈W かつ c,d∈F  ⟹  cu+dv∈W.u, v \in W \text{ かつ } c, d \in F \implies cu + dv \in W.

（すべての線型結合について閉じている。）

この条件は 0∈W\mathbf{0} \in W も別途確認する必要をなくす：WW は空でないので u∈Wu \in W が存在し、c=0c = 0 を取ると 0⋅u=0∈W0 \cdot u = \mathbf{0} \in W となる。したがって空でなく線型結合について閉じていることを確認するだけでよい。

例

自明な部分空間

W={0}W = \{\mathbf{0}\} はあらゆるベクトル空間の最小の部分空間だ。零ベクトルだけを含む。三条件をすべて明らかに満たす。

空間全体

W=VW = V それ自体は自明に部分空間——最大のものだ。

R3\mathbb{R}^3 の原点を通る直線と平面

  • 固定した非ゼロ vv に対して {t v:t∈R}\{t\,v : t \in \mathbb{R}\} の形をした R3\mathbb{R}^3 の原点を通る直線は一次元の部分空間だ。
  • 線型独立な u,vu, v に対して {s u+t v:s,t∈R}\{s\,u + t\,v : s, t \in \mathbb{R}\} の形をした R3\mathbb{R}^3 の原点を通る平面は二次元の部分空間だ。

「原点を通る」という要件に注目しよう：原点を通らない直線や平面は部分空間ではない（0\mathbf{0} を含まない）。

同次方程式系の解集合

A∈Mm,n(F)A \in M_{m,n}(F) のとき、同次方程式系 Ax=0Ax = \mathbf{0} の解集合は FnF^n の部分空間だ。確認：A0=0A\mathbf{0} = \mathbf{0}（ゼロは解）；Ax=0Ax = \mathbf{0} かつ Ay=0Ay = \mathbf{0} ならば A(x+y)=0A(x+y) = \mathbf{0}；Ax=0Ax = \mathbf{0} ならば A(cx)=c(Ax)=0A(cx) = c(Ax) = \mathbf{0}。この部分空間が AA の核（kernel）であり、核で展開される。

反例

原点を通らない R2\mathbb{R}^2 の直線、たとえば {(x,y):y=x+1}\{(x, y) : y = x + 1\} は部分空間ではない：(0,0)(0, 0) を含まず、2⋅(1,2)=(2,4)2 \cdot (1, 2) = (2, 4) が y=x+1y = x + 1 上にない。閉性の条件が崩れる。

スパンと基底

線型スパンから、任意の部分集合 S⊆VS \subseteq V のスパンは自動的に部分空間——SS を含む最小の部分空間だ。これにより任意のベクトルの集合から豊富な部分空間の供給が得られる。

部分空間の基底

部分空間 WW の基底（basis）とは B⊆W\mathcal{B} \subseteq W の部分集合であって：

  1. 線型独立（線型従属で定義）。
  2. スパン性：span(B)=W\text{span}(\mathcal{B}) = W。

基底は「最小のスパン集合」であり同時に WW 内の「最大の独立集合」だ。WW の任意の基底の元の数は常に同じ——この共通の数が WW の次元（dimension）であり dim⁡W\dim W と書く。

まとめ

  • 部分空間 W⊆VW \subseteq V とは、加法とスカラー倍について閉じた空でない部分集合；等価的に、すべての線型結合 cu+dvcu + dv について閉じている。
  • 空でなく線型結合について閉じていれば、0∈W\mathbf{0} \in W とすべてのベクトル空間の公理が自動的に保証される。
  • 主な例：{0}\{\mathbf{0}\}、VV 自体、原点を通る直線・平面、同次方程式系の解集合。
  • 0\mathbf{0} を含まない（平行移動した）部分集合は部分空間ではない。
  • 任意の集合 SS のスパン（線型スパン）は SS を含む最小の部分空間だ。
  • WW の基底は線型独立なスパン集合；その大きさが dim⁡W\dim W だ。