線性子空間（Linear Subspace）

Basis
最後更新: 標籤: 線性代數

先備知識

不是向量空間的每個子集本身都是向量空間。一個隨機的子集可能不包含零向量，或者在你將其中兩個元素相加時「逃出」子集。**線性子空間（linear subspace）**是保持向量空間結構的子集——它們在線性代數中自然地到處出現：作為核、作為像、作為齊次方程組的解集。

定義

設 VV 是體 FF 上的向量空間。VV 的一個非空子集 W⊆VW \subseteq V 是 VV 的線性子空間（也簡稱子空間），如果它滿足以下三個條件：

  1. 0∈W\mathbf{0} \in W  （零向量屬於 WW）
  2. u,v∈W  ⟹  u+v∈Wu, v \in W \implies u + v \in W  （在加法下封閉）
  3. u∈W, c∈F  ⟹  cu∈Wu \in W,\ c \in F \implies cu \in W  （在純量乘法下封閉）

當這些成立時，WW 本身就是一個向量空間，使用與 VV 相同的運算。所有向量空間公理——結合性、分配律等——都從 VV 中自動繼承，因為 WW 的元素和運算只是將 VV 的元素和運算限制在 WW 上。上面的三個條件是你唯一需要驗證的。

子空間判準

條件 2 和 3 合在一起說明 WW 在所有線性組合下封閉。這引出一個簡潔的檢驗：

子空間判準：非空子集 W⊆VW \subseteq V 是 VV 的子空間，當且唯當

u,v∈W 且 c,d∈F  ⟹  cu+dv∈W.u, v \in W \text{ 且 } c, d \in F \implies cu + dv \in W.

（在所有線性組合下封閉。）

這個條件也暗示 0∈W\mathbf{0} \in W 而無需另行驗證：由於 WW 非空，存在某個 u∈Wu \in W；取 c=0c = 0 得 0⋅u=0∈W0 \cdot u = \mathbf{0} \in W。所以你只需驗證 WW 非空且在線性組合下封閉。

例子

平凡子空間

W={0}W = \{\mathbf{0}\} 是任意向量空間的最小子空間。它只包含零向量，顯然滿足三個條件。

整個空間

W=VW = V 本身平凡地是一個子空間——它是最大的。

R3\mathbb{R}^3 中過原點的直線和平面

  • R3\mathbb{R}^3 中任何過原點的直線——對固定非零 vv 形如 {t v:t∈R}\{t\,v : t \in \mathbb{R}\} 的集合——是一維子空間。
  • R3\mathbb{R}^3 中任何過原點的平面——對線性獨立的 u,vu, v 形如 {s u+t v:s,t∈R}\{s\,u + t\,v : s, t \in \mathbb{R}\} 的集合——是二維子空間。

注意「過原點」的要求：不過原點的直線或平面不是子空間（它不包含 0\mathbf{0}）。

齊次方程組的解集

若 A∈Mm,n(F)A \in M_{m,n}(F)，則齊次方程組 Ax=0Ax = \mathbf{0} 的解集是 FnF^n 的子空間。驗證：A0=0A\mathbf{0} = \mathbf{0}（零是一個解）；若 Ax=0Ax = \mathbf{0} 且 Ay=0Ay = \mathbf{0}，則 A(x+y)=0A(x+y) = \mathbf{0}；若 Ax=0Ax = \mathbf{0}，則 A(cx)=c(Ax)=0A(cx) = c(Ax) = \mathbf{0}。這個子空間是 AA 的核，在核中展開。

反例

R2\mathbb{R}^2 中不過原點的直線，比如 {(x,y):y=x+1}\{(x, y) : y = x + 1\}，不是子空間：它不包含 (0,0)(0, 0)，而且 2⋅(1,2)=(2,4)2 \cdot (1, 2) = (2, 4) 不在 y=x+1y = x + 1 上。封閉性條件不成立。

張成與基底

由線性張成，任意子集 S⊆VS \subseteq V 的張成自動是一個子空間——包含 SS 的最小子空間。這從任意一組向量提供了豐富的子空間來源。

子空間的基底

子空間 WW 的基底是一個子集 B⊆W\mathcal{B} \subseteq W，它：

  1. 線性獨立（如線性相依中定義的）。
  2. 張成：span(B)=W\text{span}(\mathcal{B}) = W。

基底是「最小張成集」，同時也是 WW 內的「最大獨立集」。WW 的任意基底的元素數目永遠相同——這個共同的數目是 WW 的維度，記作 dim⁡W\dim W。

摘要

  • 子空間 W⊆VW \subseteq V 是在加法和純量乘法下封閉的非空子集；等價地，在所有線性組合 cu+dvcu + dv 下封閉。
  • 非空且在線性組合下封閉自動確保 0∈W\mathbf{0} \in W 和所有向量空間公理。
  • 關鍵例子：{0}\{\mathbf{0}\}、VV 本身、過原點的直線/平面，以及齊次方程組的解集。
  • 不包含 0\mathbf{0} 的子集（如平移後的仿射子空間）不是子空間。
  • 任意集合 SS 的張成（線性張成）是包含 SS 的最小子空間。
  • WW 的基底是線性獨立的張成集；其大小是 dim⁡W\dim W。