維度與秩

Basis
最後更新: 標籤: 線性代數

先備知識

當你為子空間選擇一個基底時，有很多選項——大多數空間有無限多個有效的基底。但不管你選哪個基底，你總會數到相同數量的向量。這個不變量就是維度（dimension），它是向量空間最基本的數值性質。秩的整個理論以及秩-零化度定理都建立在這個單一事實之上。

有限維空間

向量空間 VV 是有限維的，如果存在一個有限的向量集合張成 VV。所有的 FnF^n、所有的矩陣空間 Mm,n(F)M_{m,n}(F) 以及有限維空間的每個子空間都是有限維的。沒有有限張成集的空間——例如 FF 上所有多項式的空間——則是無限維的（infinite-dimensional）。

本文完全聚焦於有限維空間。

所有基底大小相同

線性子空間介紹了基底，並不加證明地說明一個空間的所有基底大小相等。以下是其成立的原因。

引理（替換）：若 {v1,…,vn}\{v_1, \ldots, v_n\} 張成 VV，且 {u1,…,um}\{u_1, \ldots, u_m\} 在 VV 中線性獨立，則 m≤nm \le n。

證明草圖：你可以每次用獨立集中的一個向量替換張成集中的一個向量，同時在每一步保持張成集不變。最多 nn 次替換後，張成集便已用盡。由於 uiu_i 是線性獨立的，在填滿所有 nn 個替換位置之前，沒有任何 uiu_i 會被「提前用完」——因此 m≤nm \le n。□\square

定理：有限維向量空間 VV 的任意兩個基底具有相同數量的元素。

證明：設 B={b1,…,bn}\mathcal{B} = \{b_1, \ldots, b_n\} 和 C={c1,…,cm}\mathcal{C} = \{c_1, \ldots, c_m\} 是 VV 的兩個基底。由於 B\mathcal{B} 張成 VV 且 C\mathcal{C} 線性獨立，引理給出 m≤nm \le n。由於 C\mathcal{C} 張成 VV 且 B\mathcal{B} 線性獨立，同樣的論證給出 n≤mn \le m。因此 m=nm = n。□\square

維度的定義

由於每個基底大小相同，以下定義是良好定義的：

有限維向量空間 VV 的維度記作 dim⁡V\dim V（或 dim⁡FV\dim_F V 以強調體），定義為 VV 的任意基底中的向量數量。

按慣例，平凡空間有 dim⁡{0}=0\dim\{\mathbf{0}\} = 0，以空集作為其基底。

常見空間的維度

空間標準基底維度
FnF^n標準單位向量 e1,…,ene_1, \ldots, e_nnn
Mm,n(F)M_{m,n}(F)矩陣 EijE_{ij}（一個 11，其餘為 00）mnmn
F[x]≤dF[x]_{\le d}（次數 ≤d\le d 的多項式）1,x,x2,…,xd1, x, x^2, \ldots, x^dd+1d+1
{0}\{\mathbf{0}\}∅\emptyset00

維度告訴你描述空間中每個元素需要多少個獨立參數：FnF^n 中的元素需要 nn 個坐標，次數 ≤d\le d 的多項式需要 d+1d+1 個係數，依此類推。

維度與子空間

設 WW 是有限維空間 VV 的子空間，則 WW 也是有限維的，並且：

  1. dim⁡W≤dim⁡V\dim W \le \dim V。
  2. dim⁡W=dim⁡V\dim W = \dim V 若且唯若 W=VW = V。

第 2 點提供了一個有用的捷徑：要證明子空間 WW 等於整個 VV，只需在 WW 內找到 dim⁡V\dim V 個線性獨立向量就足夠了。如果 WW 包含一個大小合適的線性獨立集，它必定就是整個 VV。

擴充與縮減基底

由替換引理可得出兩個實用事實：

  • VV 中任何線性獨立集都可以擴充為 VV 的一個基底（每次添加一個向量）。
  • VV 的任何張成集都可以縮減為 VV 的一個基底（每次移除一個冗餘向量）。

兩者合在一起說明：基底既是最小張成集，又是 VV 內的最大線性獨立集。

秩作為維度

矩陣 AA 的秩（rank），在列空間與行空間中已介紹，恰好是一個維度：

rank(A)=dim⁡(row(A))=dim⁡(col(A)).\text{rank}(A) = \dim(\text{row}(A)) = \dim(\text{col}(A)).

AA 的**零化度（nullity）**是其核的維度——齊次方程組 Ax=0Ax = \mathbf{0} 的解集：

nullity⁡(A)=dim⁡(ker⁡(A)).\operatorname{nullity}(A) = \dim(\ker(A)).

對於 m×nm \times n 矩陣 AA，這兩個量由秩-零化度定理相聯繫：

rank⁡(A)+nullity⁡(A)=n.(1)\operatorname{rank}(A) + \operatorname{nullity}(A) = n. \tag{1}

AA 的每一直行要麼是樞軸行（pivot column，對秩貢獻 11），要麼是自由行（free column，對零化度貢獻 11）。這 nn 直行在兩者之間劃分，每行不重複計算也不遺漏。

摘要

  • 向量空間是有限維的，如果它有一個有限的張成集。
  • 有限維空間的所有基底具有相同數量的元素——這由替換引理從兩個方向應用得出。
  • 維度 dim⁡V\dim V 是這個共同的基底大小：dim⁡Fn=n\dim F^n = n、dim⁡Mm,n(F)=mn\dim M_{m,n}(F) = mn、dim⁡{0}=0\dim\{\mathbf{0}\} = 0。
  • 對於子空間 W⊆VW \subseteq V：dim⁡W≤dim⁡V\dim W \le \dim V，等號成立若且唯若 W=VW = V。
  • VV 中任何線性獨立集都可以擴充為一個基底；VV 的任何張成集都可以縮減為一個基底。
  • 秩和零化度都是維度：rank(A)=dim⁡(col(A))=dim⁡(row(A))\text{rank}(A) = \dim(\text{col}(A)) = \dim(\text{row}(A)) 以及 nullity(A)=dim⁡(ker⁡(A))\text{nullity}(A) = \dim(\ker(A))，且 rank(A)+nullity(A)=n\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n。