次元とランク — Project Hematite

部分空間の基底を選ぶとき、選択肢はたくさんある——ほとんどの空間では有効な基底が無数に存在する。しかしどの基底を選んでも、常に同じ数のベクトルを数える。この不変量が次元（dimension）であり、ベクトル空間の最も根本的な数値的性質だ。ランクの理論と次元定理（rank-nullity theorem）のすべてはこの一つの事実の上に成り立つ。

有限次元空間

ベクトル空間 $V$ が有限次元（finite-dimensional）であるとは、 $V$ をスパンする有限個のベクトルの集合が存在することをいう。 $F^n$ のすべて、行列空間 $M_{m,n}(F)$ のすべて、有限次元空間のすべての部分空間は有限次元だ。有限スパン集合を持たない空間—— $F$ 上のすべての多項式の空間など——は無限次元だ。

このチェックポイントは有限次元空間のみを扱う。

すべての基底は同じ大きさを持つ

線型部分空間では基底を導入し、空間のすべての基底が同じ大きさを持つことを証明なしで述べた。なぜそれが真であるかを示そう。

補題（置換補題）： $\{v_1, \ldots, v_n\}$ が $V$ をスパンし、 $\{u_1, \ldots, u_m\}$ が $V$ で線型独立なら $m \le n$ 。

証明の概略：スパン集合のベクトルを独立集合のベクトルで一つずつ置き換えながら、各ステップでスパン集合を維持できる。 $n$ 回の置換後、スパン集合は尽きる。 $u_i$ たちは独立なので、 $n$ 個の置換スロットがすべて埋まる前に「使い切られる」ことはない——だから $m \le n$ だ。 $\square$

定理：有限次元ベクトル空間 $V$ の任意の二つの基底は同じ元の数を持つ。

証明： $\mathcal{B} = \{b_1, \ldots, b_n\}$ と $\mathcal{C} = \{c_1, \ldots, c_m\}$ を $V$ の二つの基底とする。 $\mathcal{B}$ が $V$ をスパンし $\mathcal{C}$ が線型独立なので、補題から $m \le n$ 。 $\mathcal{C}$ が $V$ をスパンし $\mathcal{B}$ が線型独立なので、同じ論法で $n \le m$ 。したがって $m = n$ 。 $\square$

次元の定義

すべての基底が同じ大きさを持つので、次の定義が意味をなす：

有限次元ベクトル空間 $V$ の次元（dimension）とは $V$ の任意の基底のベクトルの数のことであり、 $\dim V$ （または体を強調するとき $\dim_F V$ ）と書く。

規約として、自明な空間は $\dim\{\mathbf{0}\} = 0$ であり、空集合をその基底とする。

よく知られた空間の次元

空間	標準基底	次元
$F^n$	標準単位ベクトル $e_1, \ldots, e_n$	$n$
$M_{m,n}(F)$	行列 $E_{ij}$ （一つが $1$ 、残りが $0$ ）	$mn$
$F[x]_{\le d}$ （次数 $\le d$ の多項式）	$1, x, x^2, \ldots, x^d$	$d+1$
$\{\mathbf{0}\}$	$\emptyset$	$0$

次元は空間のすべての元を記述するために必要な独立なパラメータの数を教えてくれる： $F^n$ の元には $n$ 個の座標が、次数 $\le d$ の多項式には $d+1$ 個の係数が必要、といった具合に。

次元と部分空間

$W$ を有限次元空間 $V$ の部分空間とする。すると $W$ も有限次元であり：

$\dim W \le \dim V$ 。
$\dim W = \dim V$ であることと $W = V$ であることは同値だ。

点 2 は便利なショートカットを与える：部分空間 $W$ が $V$ 全体に等しいことを証明するには、 $W$ の中に $\dim V$ 個の線型独立なベクトルを見つけるだけで十分だ。正しいサイズの線型独立集合を含む部分空間は $V$ 全体でなければならない。

基底の拡張と縮小

置換補題から二つの実用的な事実が従う：

$V$ の任意の線型独立な集合は $V$ の基底に拡張できる（ベクトルを一つずつ加えることで）。
$V$ の任意のスパン集合は $V$ の基底に縮小できる（冗長なベクトルを一つずつ取り除くことで）。

合わせると：基底は最小のスパン集合であると同時に $V$ 内の最大の線型独立集合だ。

次元としてのランク

行空間と列空間で導入された行列 $A$ のランクは次元として正確に表現される：

$\text{rank}(A) = \dim(\text{row}(A)) = \dim(\text{col}(A)).$

$A$ の零化次元（nullity）は核の次元——同次方程式系 $Ax = \mathbf{0}$ の解集合の次元——だ：

\operatorname{nullity}(A) = \dim(\ker(A)).

$m \times n$ 行列 $A$ に対して、この二つの量は次元定理によって関係づけられる：

\operatorname{rank} (A) + \operatorname{nullity} (A) = n. \tag{1}

$A$ のすべての列はピボット列（ランクに $1$ を寄与）か自由列（零化次元に $1$ を寄与）のどちらかだ。 $n$ 本の列は二つに分配され、どの列も二度数えられることなく、またどの列も取り残されることなく。

まとめ

ベクトル空間は有限スパン集合を持つとき有限次元だ。
有限次元空間のすべての基底は同じ元の数を持つ——これは置換補題を両方向に適用することから従う。
次元 $\dim V$ はこの共通の基底の大きさだ： $\dim F^n = n$ 、 $\dim M_{m,n}(F) = mn$ 、 $\dim\{\mathbf{0}\} = 0$ 。
部分空間 $W \subseteq V$ に対して： $\dim W \le \dim V$ 、等号成立は $W = V$ と同値。
$V$ の任意の線型独立集合は基底に拡張できる； $V$ の任意のスパン集合は基底に縮小できる。
ランクと零化次元は次元だ： $\text{rank}(A) = \dim(\text{col}(A)) = \dim(\text{row}(A))$ 、 $\text{nullity}(A) = \dim(\ker(A))$ 、そして $\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$ 。