行空間と列空間

すべての行列は二つの自然なベクトルの族を持つ：行と列だ。行のスパンと列のスパンはともに重要な部分空間であり、どの線型方程式系が解を持つかと行列の「到達範囲」をエンコードする。最初は自明でない驚くべき事実は、これらの二つのスパン——全く異なる空間に住む——の次元が常に一致するということだ。

行空間と列空間

体 $F$ 上の $m \times n$ 行列 $A$ に対して、$r_1, \ldots, r_m \in F^n$ を行ベクトル、$c_1, \ldots, c_n \in F^m$ を列ベクトルとする。

• $A$ の行空間（row space）とは $\text{row}(A) \coloneqq \text{span}(r_1, \ldots, r_m) \subseteq F^n$。
• $A$ の列空間（column space）とは $\text{col}(A) \coloneqq \text{span}(c_1, \ldots, c_n) \subseteq F^m$。

どちらも各々の周辺空間の線型部分空間だ。なぜならベクトルの任意の集合のスパンは常に部分空間だからだ。住む空間が異なることに注目しよう：行空間は $F^n$（列の数だけの座標）に、列空間は $F^m$（行の数だけの座標）に住む。

列空間が教えてくれること

積 $Ax$ は $A$ の列の線型結合だ：

$Ax = x_1\,c_1 + x_2\,c_2 + \cdots + x_n\,c_n.$

だから $x$ が $F^n$ の全体を動くとき、$Ax$ は $\text{col}(A)$ の全体を動く。これにより解の存在に関するきれいな判定基準が得られる：

$Ax = b \text{ が解を持つ} \iff b \in \text{col}(A).$

$b$ が列空間の外にあれば、方程式系は不能だ——列の組み合わせで $b$ を作ることはできない。

行変換は行空間を保存する

行空間と列空間を計算する主な道具はガウス・ジョルダン消去法だ。それが各空間とどう相互作用するかを見よう。

基本行変換はどれも（二行を交換する；ある行を非ゼロスカラーで掛ける；ある行のスカラー倍を別の行に加える）、行の集合を同じスパンを持つ新しい集合に置き換える。なぜなら各操作は可逆で、新しい行は古い行の線型結合であり、古い行は新しい行の線型結合として取り戻せるからだ。スパンは到達できる線型結合にのみ依存するので、スパンは変わらない。

帰結：行空間は行変換の下で不変だ。特に、$A$ の行簡約階段形（RREF）の非ゼロ行が $\text{row}(A)$ の基底をなす——それらは同じ空間をスパンし、各行が他の非ゼロ行がゼロの位置に先頭の 1 を持つため明らかに線型独立だ。

行変換は列空間を保存しない

行変換は列ベクトルを変える。ある行に別の行の $c$ 倍を加えることは、その行のすべての成分を変え、すべての列を同時に変える。だから RREF の列から $\text{col}(A)$ の基底を読み取ることはできない。

行変換が保存するのは列の間の線型依存関係だ：簡約前に列が他の列の線型結合であれば、簡約後も同じ関係が成り立ち、逆も同様だ。これはピボット列の位置が信頼できることを意味する——$A$ のピボット列が $\text{col}(A)$ の基底をなす——が、それらの列は RREF からではなく元の行列 $A$ から取らなければならない。

計算例

次の行列の行空間と列空間の基底を求める：

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.$

ガウス・ジョルダン消去法を適用する。$R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$、$R_3 \leftarrow R_3 - R_1$：

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix}.$

$R_2$ と $R_3$ を交換し、$R_2 \leftarrow -R_2$：

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$

後退代入：$R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2$：

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$

行空間：RREF の非ゼロ行は $(1, 0, 1)$ と $(0, 1, 1)$ だ。これらが $\text{row}(A) \subseteq F^3$ の基底をなす。

列空間：ピボット列は列 1 と列 2 だ（先頭の 1 がある位置）。元の $A$ のそれらの列を取る：

$\text{col}(A) = \text{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix}\right\} \subseteq F^3.$

行ランクと列ランクの一致

この例では行空間と列空間の両方の次元が 2 だ。これは偶然ではない。

定理：任意の行列 $A$ に対して $\dim(\text{row}(A)) = \dim(\text{col}(A))$。

証明：$A$ の RREF において、すべてのピボットは非ゼロ行（行空間に寄与）とピボット列（列空間に寄与）に対応する。どちらの場合もピボットの数は同じだ。RREF の非ゼロ行が $\text{row}(A)$ の基底をなし、$A$ のピボット列が $\text{col}(A)$ の基底をなすので、両方の次元がピボットの数に等しい。$\square$

ランク

この共通の次元が $A$ のランク（rank）だ：

\text{rank}(A) \coloneqq \dim(\text{row}(A)) = \dim(\text{col}(A)) = \text{（RREF のピボットの数)}. \tag{1}

ランクは行列の真に独立な部分がどれだけあるかを測る——線型独立な行（等価的に列）が何本あるか。$m \times n$ 行列では $\text{rank}(A) \le \min(m, n)$。なぜなら行空間（次元 $\le m$）も列空間（次元 $\le n$）も各々の周辺空間を超えられないからだ。

ランク、零化次元（nullity）、解の構造の関係は次元定理で精密に述べられる。

まとめ

• 行空間 $\text{row}(A) = \text{span}(r_1, \ldots, r_m) \subseteq F^n$ と列空間 $\text{col}(A) = \text{span}(c_1, \ldots, c_n) \subseteq F^m$ はともに線型部分空間だ。
• 方程式系 $Ax = b$ が無矛盾であることと $b \in \text{col}(A)$ は同値だ。
• 行変換は行空間を保存する：RREF の非ゼロ行が基底を与える。
• 行変換は列空間を保存しない：基底は元の行列 $A$ のピボット列を使う。
• 行ランクは列ランクに等しい：$\dim(\text{row}(A)) = \dim(\text{col}(A))$。
• ランク $\text{rank}(A)$ はこの共通値であり、RREF のピボットの数に等しい。