線型スパン

Basis
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前提知識

いくつかのベクトルがあるとき、加法とスカラー倍だけを使って何を構築できるだろうか？その答え——考えられるすべての出力の集合——がスパン（span）だ。スパンは線型代数の中心的構成だ：すべての部分空間、すべての基底、すべての行空間と列空間は、最終的に何かのスパンとして記述される。

定義

体 FF 上のベクトル空間 VV と任意の部分集合 S⊆VS \subseteq V に対して、SS のスパンは SS の元の線型結合すべての集合だ：

\text{span}(S) \coloneqq \bigl\{ c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k : k \ge 0,\ v_1, \ldots, v_k \in S,\ c_1, \ldots, c_k \in F \bigr\}. \tag{1}

二つの境界の場合：

  • span(∅)={0}\text{span}(\emptyset) = \{\mathbf{0}\} と規約する：ゼロ個のベクトルの和は空の和であり 0\mathbf{0} に等しい。
  • span({v})={cv:c∈F}\text{span}(\{v\}) = \{cv : c \in F\}、vv の方向に原点を通る直線。

例

R2\mathbb{R}^2 でのスパン. e1=(1,0)e_1 = (1, 0)、e2=(0,1)e_2 = (0, 1) とする。

  • span({e1})={(c,0):c∈R}\text{span}(\{e_1\}) = \{(c, 0) : c \in \mathbb{R}\} ——xx 軸。
  • span({e1,e2})={(c1,c2):c1,c2∈R}=R2\text{span}(\{e_1, e_2\}) = \{(c_1, c_2) : c_1, c_2 \in \mathbb{R}\} = \mathbb{R}^2 ——平面全体。
  • span({(1,0),(2,0)})={(c,0):c∈R}\text{span}(\{(1,0), (2,0)\}) = \{(c,0) : c \in \mathbb{R}\} ——やはり xx 軸。(2,0)(2,0) は (1,0)(1,0) のスカラー倍なので新しい情報を加えない。

R3\mathbb{R}^3 でのスパン. u=(1,0,0)u = (1, 0, 0)、v=(0,1,0)v = (0, 1, 0) とする。

  • span({u,v})={(c1,c2,0):c1,c2∈R}\text{span}(\{u, v\}) = \{(c_1, c_2, 0) : c_1, c_2 \in \mathbb{R}\} ——xyxy 平面。
  • w=(0,0,1)w = (0, 0, 1) を加えると：span({u,v,w})=R3\text{span}(\{u, v, w\}) = \mathbb{R}^3。
  • (1,1,0)(1, 1, 0) を代わりに加えると：span({u,v,(1,1,0)})=span({u,v})\text{span}(\{u, v, (1,1,0)\}) = \text{span}(\{u,v\}) ——やはり xyxy 平面、なぜなら (1,1,0)=u+v(1,1,0) = u + v だから。

パターン：冗長なベクトル（他のベクトルたちの線型結合ですでに表せるもの）はスパンを広げない。

スパンは常に部分空間

定理：任意の S⊆VS \subseteq V に対して、span(S)\text{span}(S) は VV の部分空間だ。

証明. span(S)\text{span}(S) は空でない（空の組み合わせで 0∈span(S)\mathbf{0} \in \text{span}(S)）。x=c1v1+⋯+ckvkx = c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k と y=d1w1+⋯+dlwly = d_1 w_1 + \cdots + d_l w_l が span(S)\text{span}(S) の二元で、a,b∈Fa, b \in F とすると、

ax+by=ac1v1+⋯+ackvk+bd1w1+⋯+bdlwlax + by = ac_1 v_1 + \cdots + ac_k v_k + bd_1 w_1 + \cdots + bd_l w_l

はまた SS の元の線型結合であり、ax+by∈span(S)ax + by \in \text{span}(S) だ。□\square

さらに、span(S)\text{span}(S) は SS を含む VV の最小の部分空間だ：SS を含む任意の部分空間 WW は線型結合に閉じていなければならないので、span(S)\text{span}(S) のすべての元を含まなければならない。記号で：

\text{span}(S) = \bigcap \{W \subseteq V : W \text{ は部分空間かつ } S \subseteq W\}. \tag{2}

スパン集合

部分集合 S⊆VS \subseteq V が VV をスパンする（spans VV）または VV のスパン集合（spanning set）であるとは、span(S)=V\text{span}(S) = V のこと——VV のすべてのベクトルが SS の元の線型結合で表せること。

例：{(1,0),(0,1)}\{(1,0),(0,1)\} は R2\mathbb{R}^2 をスパンする。{(1,0),(0,1),(1,1)}\{(1,0),(0,1),(1,1)\} もスパンするが、三番目のベクトルは冗長だ。{(1,0)}\{(1,0)\} だけでは R2\mathbb{R}^2 をスパンしない。

スパン集合は縮小できる：SS のあるベクトルが他の元の線型結合であれば、span(S)\text{span}(S) を変えることなく取り除ける。このプロセスを繰り返すと最小のスパン集合——どのベクトルも冗長でない——が得られ、これがちょうど線型部分空間で基底（basis）と呼ぶものだ。

スパンが正しい概念である理由

スパンは到達可能性の問いに答える：与えられた集合の「届く範囲」にどのベクトルがあるか？この問いは線型代数のあらゆる場面に現れる：

  • ベクトル bb は AA の列空間にあるか？等価的に、b∈span(A の列)b \in \text{span}(A \text{ の列}) か？
  • ベクトルの集合は VV 全体を覆うか？等価的に、VV をスパンするか？
  • 与えられた集合を含む最小の部分空間は？そのスパンだ。

まとめ

  • span(S)\text{span}(S) は SS の元の線型結合すべての集合；規約として span(∅)={0}\text{span}(\emptyset) = \{\mathbf{0}\}。
  • span(S)\text{span}(S) は VV の常に部分空間であり、SS を含む最小の部分空間だ。
  • 冗長なベクトル——他のベクトルたちの線型結合ですでに表せるもの——はスパンを変えない。
  • SS が span(S)=V\text{span}(S) = V を満たすとき VV をスパンするという。スパン集合からすべての冗長性を取り除くと基底が得られる。