線型従属 — Project Hematite

ベクトルの集まりがあるとき、そのうちのどれかが「冗長」——他のベクトルの組み合わせで表せる——かどうかはどうすればわかるだろうか？線型従属（linear dependence）はこの問いに答える正確な言語を与え、その答えは常に同次線型方程式系を解くことと等価になる。

線型結合

体 $F$ 上のベクトル空間のベクトル $v_1, \ldots, v_k \in V$ の線型結合（linear combination）とは、次の形の式のことだ：

$c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_k v_k, \qquad c_1, \ldots, c_k \in F.$

スカラー $c_1, \ldots, c_k$ を組み合わせの係数（coefficients）という。線型結合は線型代数のすべての構成要素の基本だ——すべてのスパン、すべての部分空間、すべての行列ベクトル積は突き詰めれば線型結合だ。

線型従属と線型独立

集合 $\{v_1, \ldots, v_k\} \subseteq V$ が線型従属（linearly dependent）であるとは、少なくとも一つはゼロでないスカラー $c_1, \ldots, c_k \in F$ が存在して：

$c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_k v_k = \mathbf{0} \tag{1}$

が成り立つことをいう。少なくとも一つの $c_i \ne 0$ による方程式 (1) を、ベクトルたちの間の非自明な線型関係（nontrivial linear relation）という。

逆に、集合が線型独立（linearly independent）であるとは、(1) の解が自明な関係 $c_1 = c_2 = \cdots = c_k = 0$ だけの場合をいう。同値的に、集合の中のどのベクトルも他のベクトルたちの線型結合では表せない——それぞれが真に新しい情報を持っている。

空集合 $\emptyset$ は規約によって線型独立だ。

同次線型方程式系との関係

ベクトルを列ベクトルとして書き、行列 $A = [v_1 \mid v_2 \mid \cdots \mid v_k]$ を作る。すると方程式 (1) はちょうど同次方程式系 $Ax = \mathbf{0}$ （ここで $x = (c_1, \ldots, c_k)^\top$ ）になる。

これにより直接的な計算的判定基準が得られる：

$\{v_1, \ldots, v_k\} \text{ が線型従属} \iff Ax = \mathbf{0} \text{ が非自明解を持つ} \iff \text{RREF}(A) \text{ が少なくとも一つの自由列を持つ}.$

ベクトルの集合が線型独立かどうか確かめるには、列行列にガウス・ジョルダン消去法を適用する。自由変数が現れれば従属、すべての列がピボット列なら独立だ。

幾何学的直観

$\mathbb{R}^2$ で：

二つの非ゼロベクトルが線型従属であることは、一方が他方のスカラー倍であることと同値だ——両者は共線（collinear）、つまり原点を通る同一直線上にある。
二つのベクトルが線型独立であることは、共線でないこと、つまり真に異なる方向を向き合わせて $\mathbb{R}^2$ 全体をスパンすることと同値だ。

$\mathbb{R}^3$ で：

三つのベクトルが線型従属であることは、すべてが共面（coplanar）——原点を通る共通の平面上にある——ことと同値だ。この場合、一つは他の二つの線型結合だ。
三つのベクトルが線型独立であることは、 $\mathbb{R}^3$ 全体をスパンすること——三つとも真に異なる方向を向いていること——と同値だ。

特別な場合

$\mathbf{0}$ を含む集合はどれも線型従属だ。 $v_1 = \mathbf{0}$ なら、 $c_1 = 1$ でその他すべての係数をゼロにとる： $1 \cdot \mathbf{0} + 0 \cdot v_2 + \cdots + 0 \cdot v_k = \mathbf{0}$ 。これは非自明な関係だ。直観的には、零ベクトルは方向情報を何も持たない。

非ゼロな単一ベクトルは常に線型独立だ。 $v_1 \ne \mathbf{0}$ のとき、方程式 $c_1 v_1 = \mathbf{0}$ は任意の体において $c_1 = 0$ を強いる。

空間の次元より多いベクトル. $V$ に $\dim V$ 個より多くのベクトルがあれば、それらは自動的に線型従属だ——「独立な方向」が足りないからだ。

なぜ重要か

線型独立は基底（basis）の概念の前提条件だ：線型独立なスパン集合のことを基底という。スパン集合に冗長なベクトル（他のベクトルたちに線型従属なもの）があれば、スパンを失うことなくそれらを取り除ける。最小のスパン集合——そして最大の独立集合——がちょうど基底であり、これは線型部分空間で展開される。

まとめ

線型結合とは任意のスカラー係数を持つ和 $c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k$ だ。
$\{v_1, \ldots, v_k\}$ が線型従属とは非自明な線型結合が $\mathbf{0}$ に等しい場合；線型独立とは自明な組み合わせだけが $\mathbf{0}$ に等しい場合だ。
従属性は、列 $v_i$ を持つ行列の同次方程式系 $Ax = \mathbf{0}$ が非自明解を持つことと等価であり、それはちょうど $A$ の RREF が自由列を持つ場合に起こる。
幾何学的には：従属なベクトルは共線（ $\mathbb{R}^2$ ）または共面（ $\mathbb{R}^3$ ）だ。
$\mathbf{0}$ を含む集合はどれも従属；非ゼロな単一ベクトルは常に独立だ。