線型方程式系

科学と工学における計算問題のほぼすべては「これらの線型制約を満たす値を求めよ」に帰着する。加熱された棒の温度分布、電気回路の電流、市場を均衡させる価格——すべてが線型方程式系になる。線型方程式系の行列形式は、これらの問題を扱いやすくするレンズだ。

線型方程式系

体 $F$ 上の $n$ 個の未知数 $x_1, \ldots, x_n$ に関する $m$ 本の線型方程式の系は次の形をしている：

$$\begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n = b_2 \\ \quad \vdots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{mn} x_n = b_m \end{cases}$$

ここで係数（coefficients）$a_{ij} \in F$ と右辺（right-hand sides）$b_i \in F$ は与えられており、$m$ 本の方程式すべてを同時に満たす組 $(x_1, \ldots, x_n) \in F^n$ をすべて求めたい。そのような組を解（solution）、すべての解の集合を解集合（solution set）という。

行列形式：$Ax = b$

係数、未知数、右辺を行列にまとめると、方程式系はコンパクトな式になる：

Ax = b, \tag{1}

ここで：

• $A \in M_{m,n}(F)$ は $(A)_{ij} = a_{ij}$ の係数行列（coefficient matrix）、
• $x = (x_1, \ldots, x_n)^\top \in F^n$ は未知数ベクトル（unknown vector）（列ベクトル）、
• $b = (b_1, \ldots, b_m)^\top \in F^m$ は右辺ベクトル（right-hand-side vector）。

積 $Ax$ は各方程式の左辺を正確に再現する。方程式系を解くことは、$Ax$ が $b$ に等しくなるすべての $x \in F^n$ を求めることと同じだ。

拡大行列

(1) の両辺を別々に操作するのではなく、一つの行列にまとめる。拡大行列（augmented matrix）は：

$[A \mid b] \in M_{m,n+1}(F),$

$b$ を $A$ の右に追加の列として付け加えたものだ。$n$ 番目と $(n+1)$ 番目の列の間に縦棒を引き、最後の列が右辺であることを視覚的に示す。

$[A \mid b]$ にガウス・ジョルダン消去法を適用すると、方程式系を単純化するために必要な基本行変換を、両辺を同時に追跡しながら実行できる。操作は解集合を変えないので、$[A \mid b]$ の RREF は直接解を読み取れる等価な方程式系を与える。

RREF からの解の読み取り

$[A \mid b]$ を RREF に簡約して $[R \mid c]$ を得たとする。$R$ のピボット列に対応する変数が基本変数（basic variables）（自由変数を選べばその値が確定する）、自由列に対応する変数が自由変数（free variables）（$F$ の任意の値を取れる）だ。

ちょうど三つの結果が考えられる：

結果 1：不能（解なし）

RREF $[R \mid c]$ が次の形の行を含む：

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & \mid & 1 \end{pmatrix},$

これは方程式 $0 = 1$ を表す。これは不可能なので、方程式系は解を持たない。幾何学的には、各方程式が定める超平面に共通点がない。

結果 2：唯一解

RREF に $A$ 部分のゼロ行がなく（$R$ の各列がピボット列）、$b$ 列にピボットがない。すべての変数が基本変数——自由変数がない。RREF の最後の列から唯一の値 $x_1, \ldots, x_n$ を直接読み取れる。

結果 3：無数の解

$R$ の少なくとも一つの列が自由列（少なくとも一つの自由変数がある）で、$b$ 列にピボットがない。各自由変数は $F$ の任意の値を取れ、それぞれが異なる解を与える。完全な解集合は特殊解（particular solution）と $A$ の核（kernel）の任意の元の和だ（核を参照）：

$x = x_{\text{particular}} + x_{\text{homogeneous}}, \qquad x_{\text{homogeneous}} \in \ker(A).$

特殊解は $Ax = b$ を満たす任意の一つの $x$ で；核の部分がすべての「自由度」を担当する。

同次方程式系

特別な場合 $b = \mathbf{0}$ が同次方程式系（homogeneous system）$Ax = \mathbf{0}$ を与える。これは常に無矛盾だ：$x = \mathbf{0}$ は常に解（自明解、trivial solution と呼ぶ）だ。解集合はちょうど $\ker(A)$、つまり $A$ の核だ。

同次方程式系が自明解しか持たない場合、係数行列は自由列を持たない（すべての列がピボット列）。非自明解を持つ場合、少なくとも一つの自由列があり、核は $\{\mathbf{0}\}$ より大きい。

同次方程式系は非同次方程式系 $Ax = b$ の解集合の構造を理解する上で中心的な役割を果たす：$Ax = b$ の任意の二つの解は $\ker(A)$ の元だけ異なる。

まとめ

• $m$ 本 $n$ 未知数の線型方程式系は $A \in M_{m,n}(F)$ を用いて $Ax = b$ とコンパクトに書ける。
• 拡大行列 $[A \mid b]$ は両辺をまとめる；これにガウス・ジョルダンを適用しても解集合は変わらない。
• ちょうど三つの結果がある：不能（$b$ 列にピボット）、唯一解（自由変数なし）、無数の解（自由変数が少なくとも一つ）。
• 同次方程式系 $Ax = \mathbf{0}$ は常に無矛盾；その解集合は $\ker(A)$ であり、核で探る。