線性方程組（Linear Equations）

Basis
最後更新: 標籤: 線性代數

先備知識

幾乎每一個科學和工程中的計算問題都可以歸結為「找到滿足這些線性約束的值」。加熱棒中的溫度分布、電路中的電流、使市場出清的價格——所有這些都變成了線性方程組。線性方程組的矩陣形式是使這些問題變得可處理的視角。

線性方程組

FF 上含 nn 個未知數 x1,…,xnx_1, \ldots, x_n 的 mm 個線性方程的方程組具有以下形式：

{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋮am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm\begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots + a_{1n} x_n = b_1 \\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots + a_{2n} x_n = b_2 \\ \quad \vdots \\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots + a_{mn} x_n = b_m \end{cases}

其中係數（coefficients） aij∈Fa_{ij} \in F 和右端項（right-hand sides） bi∈Fb_i \in F 是已知的，你想找到所有同時滿足全部 mm 個方程的 (x1,…,xn)∈Fn(x_1, \ldots, x_n) \in F^n。這樣的元組稱為解（solution），所有解的集合稱為解集（solution set）。

矩陣形式：Ax=bAx = b

將係數、未知數和右端項打包進矩陣，把方程組變成緊湊的方程

Ax = b, \tag{1}

其中：

  • A∈Mm,n(F)A \in M_{m,n}(F) 是係數矩陣（coefficient matrix），(A)ij=aij(A)_{ij} = a_{ij}，
  • x=(x1,…,xn)⊤∈Fnx = (x_1, \ldots, x_n)^\top \in F^n 是未知向量（一個行向量），
  • b=(b1,…,bm)⊤∈Fmb = (b_1, \ldots, b_m)^\top \in F^m 是右端向量。

乘積 AxAx 恰好給出每個方程的左端。所以求解方程組等同於找到所有使 AxAx 等於 bb 的 x∈Fnx \in F^n。

增廣矩陣

與其分別操作 (1) 的兩側，不如將它們合併為一個矩陣。**增廣矩陣（augmented matrix）**是

[A∣b]∈Mm,n+1(F),[A \mid b] \in M_{m,n+1}(F),

通過將 bb 作為額外的一行（column）附在 AA 右側而形成。在第 nn 行和第 (n+1)(n+1) 行之間畫一條垂直線，視覺上提示最後一行是右端項。

對 [A∣b][A \mid b] 應用高斯-喬登消去法恰好執行簡化方程組所需的基本列運算，同時追蹤兩側。這些運算不改變解集，所以 [A∣b][A \mid b] 的 RREF 給出一個等價的方程組，解可以直接從中讀出。

從 RREF 讀出解

將 [A∣b][A \mid b] 化簡為 RREF 後，設 [R∣c][R \mid c] 為結果。對應 RR 的樞軸行的變數是基本變數（basic variables）（一旦你選定自由變數，它們的值就被確定），而對應自由行的變數是自由變數（free variables）（它們可以取 FF 中的任意值）。

恰好有三種可能的結果：

結果 1：無解

RREF [R∣c][R \mid c] 包含形如

(00⋯0∣1)\begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & \mid & 1 \end{pmatrix}

的一列，它代表方程 0=10 = 1。這是不可能的，所以方程組無解（inconsistent）。幾何上，各方程定義的超平面沒有公共點。

結果 2：唯一解

RREF 在 AA 中沒有全零列（RR 的每一行都是樞軸行），且 bb 列中沒有主元。每個變數都是基本變數——沒有自由變數。你可以從 RREF 的最後一行直接讀出唯一值 x1,…,xnx_1, \ldots, x_n。

結果 3：無限多解

RR 中至少有一行是自由行（至少有一個自由變數），且 bb 列中沒有主元。每個自由變數可以設為 FF 中的任意值，產生一個不同的解。完整的解集是一個**特解（particular solution）加上 AA 的核（kernel）**的任意元素（見核）：

x=x特解+x齊次，x齊次∈ker⁡(A).x = x_{\text{特解}} + x_{\text{齊次}}，\qquad x_{\text{齊次}} \in \ker(A).

特解是任意一個滿足 Ax=bAx = b 的 xx；核的部分反映了所有的「自由度」。

齊次方程組

b=0b = \mathbf{0} 的特殊情形給出齊次方程組（homogeneous system） Ax=0Ax = \mathbf{0}。它永遠有解：x=0x = \mathbf{0} 永遠是一個解（稱為平凡解（trivial solution））。解集恰好是 ker⁡(A)\ker(A)，即 AA 的核。

若齊次方程組只有平凡解，則係數矩陣沒有自由行（所有行都是樞軸行）。若有非平凡解，則至少有一個自由行，核不僅僅是 {0}\{\mathbf{0}\}。

齊次方程組在理解非齊次方程組 Ax=bAx = b 的解結構中扮演核心角色：Ax=bAx = b 的任意兩個解相差 ker⁡(A)\ker(A) 中的一個元素。

摘要

  • 含 nn 個未知數的 mm 個線性方程的方程組緊湊地寫作 Ax=bAx = b，A∈Mm,n(F)A \in M_{m,n}(F)。
  • 增廣矩陣 [A∣b][A \mid b] 打包兩側；對其應用高斯-喬登消去法在不改變解集的情況下化簡方程組。
  • 恰好有三種結果：無解（主元出現在 bb 列）、唯一解（無自由變數）或無限多解（至少有一個自由變數）。
  • 齊次方程組 Ax=0Ax = \mathbf{0} 永遠有解；其解集是 ker⁡(A)\ker(A)，在核中探討。