矩陣（Matrix）

Basis
最後更新: 標籤: 線性代數

先備知識

每當你需要儲存、變換或傳輸結構化資料——灰階圖像、一系列價格、作用在結構上的力——你幾乎肯定在使用矩陣（matrix）。矩陣是線性代數的計算主力：它們使抽象概念具體化，讓你有東西可以真正計算。

什麼是矩陣？

體 FF 上的 m×nm \times n 矩陣是一個有 mm 列 nn 行、元素取自 FF 的矩形陣列。寫作：

A=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮am1am2⋯amn)A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}

第 ii 列第 jj 行的元素稱為 aija_{ij}，或等價地 (A)ij(A)_{ij}。數對 (m,n)(m, n) 是矩陣的形狀（或大小）。當 m=nm = n 時，矩陣稱為 nn 階方陣（square matrix）。

兩個矩陣相等當且唯當它們有相同的形狀且每個對應元素相等。

特殊情形：向量作為矩陣

**行向量（column vector）**是 m×1m \times 1 矩陣——單一行有 mm 個元素。**列向量（row vector）**是 1×n1 \times n 矩陣——單一列有 nn 個元素。你已在向量空間的先修課程中見過行向量作為 FmF^m 的元素；矩陣只是幾個這樣的行並排排列（或者，若你喜歡，幾個列向量疊在一起）。

矩陣加法與純量縮放

矩陣加法逐元素定義。若 AA 和 BB 都是 m×nm \times n 矩陣，則其和 A+BA + B 是 m×nm \times n 矩陣，滿足

(A+B)ij=aij+bij.(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}.

你只需將對應元素相加。若 AA 和 BB 的形狀不同，它們的和無定義。

純量乘法以 c∈Fc \in F 縮放每個元素：

(cA)ij=c⋅aij.(cA)_{ij} = c \cdot a_{ij}.

這兩個運算恰好是對各個元素逐一執行的逐點運算，同時擴展到整個陣列。

矩陣的向量空間

由於加法和純量乘法逐元素運作，FF 上所有 m×nm \times n 矩陣的集合——記作 Mm,n(F)M_{m,n}(F)——繼承了向量空間的完整結構。零矩陣（zero matrix） OO（所有元素均為零）充當零向量的角色，每條公理（結合性、分配律等）立即由 FF 中的對應公理得出。

這意味著你可以對矩陣做所有向量能做的事：取線性組合、討論線性獨立性、張成和基底。事實上，在位置 (i,j)(i,j) 有一個 11、其餘為 00 的 mnmn 個矩陣 EijE_{ij} 構成 Mm,n(F)M_{m,n}(F) 的一個基底，所以 dim⁡Mm,n(F)=mn\dim M_{m,n}(F) = mn。

轉置

矩陣 A∈Mm,n(F)A \in M_{m,n}(F) 的**轉置（transpose）**是矩陣 A⊤∈Mn,m(F)A^\top \in M_{n,m}(F)，其 (i,j)(i,j) 元素為

(A⊤)ij=aji.(A^\top)_{ij} = a_{ji}.

用通俗的話說：你沿主對角線翻轉矩陣，把列變成行、行變成列。例如：

(123456)⊤=(142536).\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}^\top = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}.

轉置滿足 (A⊤)⊤=A(A^\top)^\top = A 和 (A+B)⊤=A⊤+B⊤(A + B)^\top = A^\top + B^\top。滿足 A⊤=AA^\top = A 的方陣稱為對稱矩陣（symmetric matrix）。

單位矩陣

單位矩陣（identity matrix） InI_n 是 n×nn \times n 的方陣，主對角線上全為 11，其餘位置全為 00：

In=(10⋯001⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯1).I_n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}.

其在位置 (i,j)(i,j) 的元素是克羅內克 delta（Kronecker delta） δij\delta_{ij}，當 i=ji = j 時等於 11，否則等於 00。當你將任何形狀相容的矩陣乘以 InI_n 時，矩陣保持不變——單位矩陣充當矩陣乘法的乘法單位元，矩陣乘法在線性映射中展開。

矩陣作為線性映射的編碼

矩陣不只是一種儲存格式。正如你將在線性映射中看到的，每個矩陣 A∈Mm,n(F)A \in M_{m,n}(F) 編碼了一個從 FnF^n 到 FmF^m 的特定線性函式，而有限維空間之間的每個線性函式在固定基底後都可以寫成矩陣。這種聯繫是矩陣在線性代數中如此核心的原因。

摘要

  • FF 上的 m×nm \times n 矩陣是一個元素 aij∈Fa_{ij} \in F 的矩形陣列。
  • 行向量和列向量分別是 m×1m \times 1 和 1×n1 \times n 的特殊情形。
  • 矩陣加法和純量乘法逐元素運作；兩者合在一起使 Mm,n(F)M_{m,n}(F) 成為維度為 mnmn 的向量空間。
  • 轉置 A⊤A^\top 交換列與行：(A⊤)ij=aji(A^\top)_{ij} = a_{ji}。
  • 單位矩陣 InI_n 主對角線上全為 11，充當乘法單位元。
  • 矩陣編碼線性映射——這個聯繫在線性映射中精確闡述。