線性代數

檢查點

• 行列式（Determinant） Basis 以餘因子展開遞迴定義方陣的行列式，說明其幾何意義為帶號的體積縮放因子，並建立其與線性映射可逆性之間的聯繫。
• 維度與秩 Basis 證明有限維向量空間的所有基底大小相同，以此不變量定義維度，探討常見空間的維度，並將秩與維度相聯繫。
• 高斯-喬登消去法（Gauss-Jordan Elimination） Basis 說明如何利用三種基本列運算將任意矩陣系統化地化為簡化列梯形式，以及為何此過程是求解線性方程組和計算秩的核心。
• 一般線性群（General Linear Group） Basis 說明可逆 n×n 矩陣在乘法下構成群，介紹 GL(n, F) 及其無座標版本 GL(V)，並探索包含特殊線性群 SL(n, F) 在內的重要子結構。
• 像與秩（Image & Rank） Basis 定義線性映射的像為所有可達輸出向量的集合，證明它是陪域的子空間，將其與矩陣的行空間等同，並以其維度引入秩的概念。
• 可逆矩陣（Invertible Matrix） Basis 將可逆矩陣定義為線性變換可以被撤銷者，透過高斯-喬登消去法刻畫可逆性，並說明如何透過擴增單位矩陣來計算逆矩陣。
• 核（Kernel） Basis 定義線性映射的核為所有被映射到零的輸入向量的集合，證明它是子空間，將其與單射性及齊次線性方程組相聯繫，並以其維度引入零化度的概念。
• 線性方程組（Linear Equations） Basis 說明線性方程組如何緊湊地表達為矩陣方程 Ax=b，並對增廣矩陣使用高斯-喬登消去法，將解分為無解、唯一解或無限多解三類。
• 線性映射與矩陣乘法 Basis 定義線性映射為向量空間之間保持結構的函式，說明每個線性映射如何由矩陣表示，並解釋矩陣乘法恰好就是線性映射的合成。
• 線性張成（Linear Span） Basis 將向量集合的張成定義為其所有線性組合的集合，證明它永遠是包含該集合的最小子空間，並介紹張成集作為基底的基礎。
• 線性子空間（Linear Subspace） Basis 將線性子空間定義為在加法和純量乘法下封閉的向量空間子集，給出關鍵的刻畫定理，並指出在線性代數中隨處出現的重要例子。
• 線性相依（Linearly Dependent） Basis 定義向量集合的線性相依與線性獨立，說明向量攜帶冗餘資訊的幾何含義，並將獨立性與齊次方程組解的唯一性相聯繫。
• LU 分解（LU Decomposition） Basis 說明如何利用高斯消去法將方陣分解為一個下三角矩陣與一個上三角矩陣的乘積，以及此分解如何使多右端線性方程組的求解速度大幅提升。
• 矩陣（Matrix） Basis 介紹矩陣作為代表向量集合的矩形陣列，涵蓋基本運算，並說明所有 m×n 矩陣的集合本身如何構成向量空間。
• 行列式的性質 Basis 展開行列式的關鍵性質：沿任意列或行的拉普拉斯展開、列運算對行列式的影響、轉置等式、乘積性質、基於伴隨矩陣的逆矩陣公式，以及克拉瑪法則。
• 秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem） Basis 證明秩-零化度定理——線性映射的定義域維度等於其秩與零化度之和——並推導出對方陣及可逆性的各項推論。
• 列空間與行空間（Row and Column Spaces） Basis 將矩陣的列空間和行空間定義為其各列和各行的張成，說明列化簡如何給出兩者的基底，證明兩者的維度永遠相等，並以此共同值介紹秩。
• 線性方程組的解的結構 Basis 利用秩對 Ax = b 的解集進行分類：當 rank(A) ≠ rank([A|b]) 時無解，當兩個秩均等於未知數個數時有唯一解，否則解集為仿射子空間。本文將高斯-喬登消去法與秩-零化度定理串聯，給出完整圖像。