線性張成（Linear Span）

給定幾個向量，只用加法和純量乘法能從它們建立什麼？答案——所有可能輸出的集合——就是張成（span）。張成是線性代數的核心構造：每個子空間、每個基底、每個列空間和行空間，最終都被描述為某個集合的張成。

定義

設 $V$ 是體 $F$ 上的向量空間，$S \subseteq V$ 是任意子集。$S$ 的張成是 $S$ 的所有線性組合的集合：

\text{span}(S) \coloneqq \bigl\{ c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k : k \ge 0,\ v_1, \ldots, v_k \in S,\ c_1, \ldots, c_k \in F \bigr\}. \tag{1}

兩個邊界情形：

• $\text{span}(\emptyset) = \{\mathbf{0}\}$（按慣例）：零個向量的和是空和，等於 $\mathbf{0}$。
• $\text{span}(\{v\}) = \{cv : c \in F\}$，即過原點沿 $v$ 方向的直線。

例子

$\mathbb{R}^2$ 中的張成。 設 $e_1 = (1, 0)$，$e_2 = (0, 1)$。

• $\text{span}(\{e_1\}) = \{(c, 0) : c \in \mathbb{R}\}$ — $x$ 軸。
• $\text{span}(\{e_1, e_2\}) = \{(c_1, c_2) : c_1, c_2 \in \mathbb{R}\} = \mathbb{R}^2$ — 整個平面。
• $\text{span}(\{(1,0), (2,0)\}) = \{(c,0) : c \in \mathbb{R}\}$ — 仍然只是 $x$ 軸，因為 $(2,0)$ 已是 $(1,0)$ 的倍數，沒有帶來任何新的東西。

$\mathbb{R}^3$ 中的張成。 設 $u = (1, 0, 0)$，$v = (0, 1, 0)$。

• $\text{span}(\{u, v\}) = \{(c_1, c_2, 0) : c_1, c_2 \in \mathbb{R}\}$ — $xy$ 平面。
• 加入 $w = (0, 0, 1)$：$\text{span}(\{u, v, w\}) = \mathbb{R}^3$。
• 改為加入 $(1, 1, 0)$：$\text{span}(\{u, v, (1,1,0)\}) = \text{span}(\{u,v\})$ — 仍然只是 $xy$ 平面，因為 $(1,1,0) = u + v$。

規律：一個冗餘向量（已是其他向量的線性組合）不會擴大張成。

張成永遠是子空間

定理：對任意 $S \subseteq V$，集合 $\text{span}(S)$ 是 $V$ 的子空間。

證明。 $\text{span}(S)$ 非空（$\mathbf{0} \in \text{span}(S)$，通過空組合得到）。若 $x = c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k$ 和 $y = d_1 w_1 + \cdots + d_l w_l$ 是 $\text{span}(S)$ 的兩個元素，$a, b \in F$，則

$ax + by = ac_1 v_1 + \cdots + ac_k v_k + bd_1 w_1 + \cdots + bd_l w_l$

仍然是 $S$ 中元素的線性組合，所以 $ax + by \in \text{span}(S)$。$\square$

此外，$\text{span}(S)$ 是 $V$ 中包含 $S$ 的最小子空間：任何包含 $S$ 的子空間 $W$ 必須在線性組合下封閉，所以它必須包含 $\text{span}(S)$ 的每個元素。用符號表示：

\text{span}(S) = \bigcap \{W \subseteq V : W \text{ 是子空間且 } S \subseteq W\}. \tag{2}

張成集

子集 $S \subseteq V$ 張成 $V$（或是 $V$ 的張成集（spanning set）），若 $\text{span}(S) = V$——即 $V$ 中的每個向量都可以表示為 $S$ 中向量的線性組合。

例子：$\{(1,0),(0,1)\}$ 張成 $\mathbb{R}^2$。$\{(1,0),(0,1),(1,1)\}$ 也是——但第三個向量是冗餘的。$\{(1,0)\}$ 單獨不能張成 $\mathbb{R}^2$。

張成集可以縮減：若 $S$ 中的任何向量是其他向量的線性組合，可以在不改變 $\text{span}(S)$ 的情況下將其移除。重複這個過程得到一個最小張成集——其中沒有冗餘向量——這恰好是線性子空間所稱的基底。

為什麼張成是正確的概念

張成回答了可達性問題：哪些向量在給定集合的「觸及範圍」內？這個問題出現在線性代數的每個角落：

• 向量 $b$ 在 $A$ 的行空間中嗎？等價地，$b \in \text{span}(A \text{ 的各行})$ 嗎？
• 一組向量能覆蓋整個 $V$ 嗎？等價地，它能張成 $V$ 嗎？
• 包含給定集合的最小子空間是什麼？就是它的張成。

摘要

• $\text{span}(S)$ 是 $S$ 中元素的所有線性組合的集合；按慣例，$\text{span}(\emptyset) = \{\mathbf{0}\}$。
• $\text{span}(S)$ 永遠是 $V$ 的子空間，且是包含 $S$ 的最小子空間。
• 冗餘向量——已是其他向量的線性組合的向量——不改變張成。
• $S$ 張成 $V$ 若 $\text{span}(S) = V$。從張成集中移除所有冗餘向量得到基底。