體（Field）

環讓你可以自由地加、減和乘，但不總能除。**體（field）**是彌補這一缺口的環：每個非零元素都可以被反轉，所以除法永遠可行。有理數 $\mathbb{Q}$、實數 $\mathbb{R}$ 和複數 $\mathbb{C}$ 是你最熟悉的體，但它們遠不是唯一的。

額外的成分：乘法反元素

回想在環 $(R, +, \cdot)$ 中，乘法運算只構成么半群——反元素不是必需的。在整數 $\mathbb{Z}$ 中，元素 $2$ 沒有乘法反元素：不存在整數 $x$ 使得 $2x = 1$。

體只是要求每個非零元素有這樣的反元素。零元素被排除，因為對任何 $x$ 都有 $0 \cdot x = 0$（如對環所示），所以沒有 $x$ 能滿足 $0 \cdot x = 1$。

定義

定義。 體是一個交換環 $(F, +, \cdot)$，使得 $(F \setminus \{0\},\, \cdot,\, 1)$ 是一個群。換言之，每個非零元素 $a \in F$ 都有乘法反元素 $a^{-1} \in F$ 滿足 $a \cdot a^{-1} = 1$。

列出所有公理，體滿足：

運算	所需結構
$(F, +, 0)$	阿貝爾群
$(F \setminus \{0\}, \cdot, 1)$	阿貝爾群
$+$ 和 $\cdot$	兩個分配律均成立

乘法的交換性內建於定義中：體永遠是交換環。

例子

有理數 $\mathbb{Q}$。 對任意 $\frac{p}{q} \neq 0$，其反元素為 $\frac{q}{p}$。分數的加法和乘法都是交換的。$(\mathbb{Q}, +, \cdot)$ 是一個體。

實數 $\mathbb{R}$。 每個非零實數 $a$ 都有反元素 $\frac{1}{a}$。$(\mathbb{R}, +, \cdot)$ 是一個體。

複數 $\mathbb{C}$。 對 $a + bi \neq 0$，其反元素為 $\frac{a - bi}{a^2 + b^2}$。$(\mathbb{C}, +, \cdot)$ 是一個體。

整數模質數 $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$。 固定一個質數 $p$。集合 $\{0, 1, \ldots, p-1\}$ 配備模 $p$ 的加法和乘法構成一個體。例如，在 $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ 中，$2$ 的反元素是 $3$，因為 $2 \cdot 3 = 6 \equiv 1 \pmod{5}$。這是一個有限體（finite field），也記作 $\mathbb{F}_p$。

反例——整數 $\mathbb{Z}$。 $\mathbb{Z}$ 是環但不是體：$2$ 沒有整數反元素。

反例——多項式 $\mathbb{R}[x]$。 多項式 $x$ 沒有多項式反元素：不存在多項式 $f$ 使得 $x \cdot f(x) = 1$。

特徵數

每個體都有一個稱為其**特徵數（characteristic）**的性質，它捕捉了將單位元 $1$ 與自身相加多少次才能達到 $0$。

正式地，$F$ 的特徵數是最小的正整數 $n$ 使得

$$\underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{n} = 0 \tag{1}$$

如果不存在這樣的 $n$，則特徵數定義為 $0$。

體的特徵數永遠是 $0$ 或某個質數。這不是巧合：若 $n = ab$，$1 \leq a, b < n$ 兩者都滿足 (1)，則 $(a \cdot 1)(b \cdot 1) = 0$，這意味著兩個非零元素的乘積等於零——在體中這是不可能的，因為非零元素有反元素，永遠不能乘積為零。

體	特徵數
$\mathbb{Q}$	$0$
$\mathbb{R}$	$0$
$\mathbb{C}$	$0$
$\mathbb{F}_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$	$p$

特徵數為 $0$ 的體包含 $\mathbb{Q}$ 的一個副本；特徵數為 $p$ 的體包含 $\mathbb{F}_p$ 的一個副本。

除法作為運算

在體中，你可以對任何非零分母定義除法：

$$\frac{a}{b} \coloneqq a \cdot b^{-1} \qquad (b \neq 0) \tag{2}$$

這使體成為求解線性方程的自然場景：方程 $ax = b$（$a \neq 0$）有唯一解 $x = a^{-1} \cdot b$。解的存在性和唯一性都依賴於乘法反元素。

這就是為什麼線性代數通常建立在體之上：除法能力使高斯消去法、行列式以及秩-零化度定理得以順暢運作。

摘要

• 體是一個每個非零元素都有乘法反元素的交換環，使得除法永遠可行（除零以外）。
• 體的公理要求兩個阿貝爾群——$(F, +, 0)$ 和 $(F \setminus \{0\}, \cdot, 1)$——由分配律相連。
• 無限體的關鍵例子：$\mathbb{Q}$、$\mathbb{R}$、$\mathbb{C}$。
• 有限體的關鍵例子：對任意質數 $p$，$\mathbb{F}_p = \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$。
• 體的特徵數是最小的 $n$ 使得 $\underbrace{1 + \cdots + 1}_{n} = 0$；它永遠是 $0$ 或質數。
• 體是線性代數的正確場景：除法使線性方程在係數非零時永遠有唯一解。