環（Ring） — Project Hematite

數字支持兩個運算，而不只是一個。你可以把它們相加，也可以把它們相乘，而且乘法對加法有分配律： $a(b + c) = ab + ac$ 。**環（ring）**是恰好捕捉這種雙運算結構、剝去所有數字特有屬性的代數結構。

兩個運算，一個集合

你至今見到的一切——半群、么半群、群——都只涉及集合上的一個二元運算。環在同一集合上疊加了第二個運算，並施加一條連接兩者的規則。

這兩個運算稱為加法（記作 $+$ ）和乘法（記作 $\cdot$ 或並列）。它們的名稱是類比於普通算術而來的，但運算本身可以是任何滿足以下公理的東西。

定義

定義。 環是一個三元組 $(R, +, \cdot)$ ，其中 $R$ 是一個集合， $+$ 、 $\cdot$ 是 $R$ 上的二元運算，滿足：

$(R, +, 0)$ 是一個阿貝爾群（加法單位元為 $0$ ，稱為加法恆等元）。

$(R, \cdot, 1)$ 是一個么半群（乘法單位元為 $1$ ，稱為乘法恆等元）。

乘法對加法有分配律：對所有 $a, b, c \in R$ ，

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \tag{1}$ $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c \tag{2}$

逐條解析：

加法運算構成一個阿貝爾群：你可以加法、減法（使用加法反元素，記作 $-a$ ），且加法的順序永遠無關緊要。
乘法運算構成一個么半群：你可以相乘，存在乘法單位元 $1$ ，且乘法有結合性——但乘法不需要有反元素。
分配律是兩個運算之間的橋樑。沒有分配律，加法和乘法在同一集合上就會是兩個獨立的、毫無關聯的么半群。

例子

整數。 $(\mathbb{Z}, +, \cdot)$ 是最典型的環。加法構成以 $0$ 為單位元、以 $-n$ 為反元素的阿貝爾群。乘法有結合性且以 $1$ 為單位元。分配律由基本算術成立。

實數。 $(\mathbb{R}, +, \cdot)$ 是一個環。事實上它有更多的結構——每個非零元素都有乘法反元素——但作為最低標準，它是一個環。

多項式。 設 $\mathbb{R}[x]$ 表示所有具有實係數的單變數多項式的集合。你可以逐項相加兩個多項式，並用標準方法相乘。零多項式是加法恆等元，常數多項式 $1$ 是乘法恆等元。所以 $(\mathbb{R}[x], +, \cdot)$ 是一個環。

方陣。 設 $M_n(\mathbb{R})$ 是所有 $n \times n$ 實矩陣的集合。矩陣加法是逐分量的（阿貝爾群），矩陣乘法有結合性且以單位矩陣 $I_n$ 為單位元（么半群），矩陣乘法對加法有分配律。所以 $(M_n(\mathbb{R}), +, \cdot)$ 是一個環。

交換性不被保證

在上面的例子中，整數和多項式滿足 $a \cdot b = b \cdot a$ ——乘法是可交換的。但矩陣環 $M_n(\mathbb{R})$ 則不然：一般情況下 $AB \neq BA$ 。

如果對所有元素都有 $a \cdot b = b \cdot a$ ，則稱為交換環（commutative ring）。整數 $\mathbb{Z}$ 和多項式 $\mathbb{R}[x]$ 是交換環。 $n \geq 2$ 時的矩陣環 $M_n(\mathbb{R})$ 是非交換的。

環的公理只要求加法可交換，而非乘法。在非交換環中工作時，兩個分配律 (1) 和 (2) 都是必要的，因為左乘和右乘可能給出不同的結果。

除法呢？

環不要求乘法反元素。在 $\mathbb{Z}$ 中，整數 $2$ 沒有乘法反元素（因為 $\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}$ ）。在環中除法並不總是可行的。

這是有意為之的。環對應的是可以自由加、減、乘，但不能總是除的情境。多項式是一個完美的說明：你可以自由地加、減、乘多項式，但用一個多項式除以另一個可能得不到多項式。

需要除法時，就要限制到更豐富的結構，稱為體。

零元素消滅一切

公理的一個推論是，任何元素乘以加法恆等元 $0$ 總是得到 $0$ ：

a \cdot 0 = 0 \qquad \text{對所有 } a \in R \tag{3}

這由分配律推出： $a \cdot 0 = a \cdot (0 + 0) = a \cdot 0 + a \cdot 0$ 。兩側減去 $a \cdot 0$ 得 $0 = a \cdot 0$ 。這個性質不是額外的公理——它是由上面三條公理推出的定理。

摘要

環 $(R, +, \cdot)$ 是一個配備兩個二元運算的集合：加法（構成阿貝爾群）和乘法（構成么半群），由分配律相連。
環允許自由加法、減法和乘法，但不要求除法。
如果對所有元素都有 $a \cdot b = b \cdot a$ ，則環是交換環；整數和多項式是交換環，矩陣通常不是。
乘法恆等元 $1$ 和加法恆等元 $0$ 在環有多於一個元素時是不同的。
任何元素乘以 $0$ 得到 $0$ ——這是定理，不是公理。
當每個非零元素也有乘法反元素時，環獲得足夠的結構以支持除法，成為體。