環

Basis
最終更新: タグ: Abstract Algebra, Ring Theory

前提知識

数は一つではなく二つの演算を持つ。足し算と掛け算であり、掛け算は足し算に対して分配される：a(b+c)=ab+aca(b + c) = ab + ac。環（ring）とは、この二演算の取り決めを数に固有な性質をすべて取り除いて抽象化した代数的構造だ。

二つの演算、一つの集合

これまで見てきた構造——半群、モノイド、群——はいずれも一つの集合上の一つの二項演算からなる。環はその同じ集合の上に二番目の演算を重ねて、二つをつなぐ規則を課す。

二つの演算は加法（addition、++ と書く）と乗法（multiplication、⋅\cdot または並置で書く）と呼ばれる。名前は通常の算術との類比によるが、演算自体は以下の公理を満たしさえすれば何でもよい。

定義

定義. 環とは、集合 RR と二つの二項演算 +,⋅+, \cdot の組 (R,+,⋅)(R, +, \cdot) であって、次を満たすものだ：

  1. (R,+,0)(R, +, 0) はアーベル群（単位元 00 を加法単位元という）。
  2. (R,⋅,1)(R, \cdot, 1) はモノイド（単位元 11 を乗法単位元という）。
  3. 乗法は加法に対して分配される：すべての a,b,c∈Ra, b, c \in R に対し、
a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c(1)a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \tag{1} (a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c(2)(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c \tag{2}

整理すると：

  • 加法はアーベル群をなす：自由に足し算・引き算（加法逆元 −a-a を使う）ができ、加法の順序は問わない。
  • 乗法はモノイドをなす：掛け算ができ、乗法単位元 11 があり、乗法は結合的——しかし乗法には逆元は不要だ。
  • 分配性が二つの演算を結ぶ橋となる。これなしでは、加法と乗法は同じ集合上の独立した無関係なモノイドになってしまう。

例

整数. (Z,+,⋅)(\mathbb{Z}, +, \cdot) は最も基本的な環だ。加法は単位元 00 と逆元 −n-n を持つアーベル群をなし、乗法は単位元 11 を持つ結合的な演算であり、分配性は基本的な算術によって成り立つ。

実数. (R,+,⋅)(\mathbb{R}, +, \cdot) は環だ。実はさらに豊かな構造——ゼロでないすべての元が乗法逆元を持つ——を持つが、まず環としての基本的な性質を備えている。

多項式. R[x]\mathbb{R}[x] を実数係数の一変数多項式全体とする。二つの多項式を同次項ごとに足し算し、標準的な規則で掛け算できる。零多項式が加法単位元、定数多項式 11 が乗法単位元だ。したがって (R[x],+,⋅)(\mathbb{R}[x], +, \cdot) は環だ。

正方行列. Mn(R)M_n(\mathbb{R}) を実数成分の n×nn \times n 行列全体とする。行列の加法は成分ごとの演算（アーベル群）、行列の乗法は結合的で単位行列 InI_n を単位元とする（モノイド）、そして乗法は加法に対して分配される。したがって (Mn(R),+,⋅)(M_n(\mathbb{R}), +, \cdot) は環だ。

可換性は保証されない

上の例において、整数と多項式では a⋅b=b⋅aa \cdot b = b \cdot a が成り立つ——乗法は可換だ。しかし行列環 Mn(R)M_n(\mathbb{R}) では一般に AB≠BAAB \neq BA となる。

すべての元について a⋅b=b⋅aa \cdot b = b \cdot a が成り立つ環を可換環（commutative ring）という。整数 Z\mathbb{Z} と多項式 R[x]\mathbb{R}[x] は可換環だ。n≥2n \geq 2 の行列環 Mn(R)M_n(\mathbb{R}) は非可換（non-commutative）だ。

環の公理で可換性が要求されるのは加法だけであり、乗法には要求されない。非可換環では、左から掛けることと右から掛けることが異なる結果をもたらすため、二つの分配法則 (1) と (2) の両方が必要となる。

割り算は？

環は乗法逆元を要求しない。Z\mathbb{Z} において整数 22 には乗法逆元がない（12∉Z\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}）。環では割り算が常にできるわけではない。

これは意図的だ。環は、自由に足し算・引き算・掛け算はできるが常に割り算はできない設定をモデル化する。多項式はその完璧な実例だ：多項式は自由に足し算・引き算・掛け算できるが、ある多項式を別の多項式で割っても多項式にならないことがある。

割り算も必要なら、体というさらに豊かな構造に制限する。

ゼロはすべてを消す

公理の帰結として、加法単位元 00 と任意の元の積は常に 00 になる：

a⋅0=0すべての a∈R に対して(3)a \cdot 0 = 0 \qquad \text{すべての } a \in R \text{ に対して} \tag{3}

分配性から導ける：a⋅0=a⋅(0+0)=a⋅0+a⋅0a \cdot 0 = a \cdot (0 + 0) = a \cdot 0 + a \cdot 0。両辺から a⋅0a \cdot 0 を引くと 0=a⋅00 = a \cdot 0。これは追加の公理ではなく、上の三つの公理から導かれる定理だ。

まとめ

  • 環 (R,+,⋅)(R, +, \cdot) とは、二つの二項演算を持つ集合だ：加法（アーベル群をなす）と乗法（モノイドをなす）が分配法則によって結びついている。
  • 環では加法・減法・乗法が自由にできるが、割り算は必ずしも可能でない。
  • すべての元について a⋅b=b⋅aa \cdot b = b \cdot a が成り立つ環を可換環という；整数と多項式は可換、行列は一般に非可換だ。
  • 乗法単位元 11 と加法単位元 00 は、環が二つ以上の元を持つ限り異なる。
  • 00 との積は 00 になる——これは公理ではなく定理だ。
  • ゼロでないすべての元が乗法逆元を持つとき、環は割り算をサポートする十分な構造を得て体となる。

これを使うもの