群

モノイドは、結合的な演算と「何もしない」単位元を与えてくれる。しかし、演算を「元に戻す」ことについては何も保証しない。$5$ を数に加えた後、元の値に戻れるだろうか？ある回転を適用した後、それを逆向きにできるだろうか？ 群（group）とは、すべての演算が可逆であることを保証するモノイドだ。

欠けていたもの：逆元

モノイド $(\mathbb{N}, +, 0)$ において、$3$ に $5$ を加えると $8$ になる。しかし $8$ に何か自然数を足して $3$ に戻ることはできない——引き算をすると $\mathbb{N}$ の外に出てしまうからだ。自然数の加法はモノイドだが、群ではない。

集合を整数全体 $\mathbb{Z}$ に広げると、すべての元に打ち消す相棒が現れる：$3$ には $-3$ が対応し、$3 + (-3) = 0$ となる。この打ち消す相棒を逆元（inverse）と呼ぶ。

形式的には、モノイド $(G, \star, e)$ において、$a^{-1} \in G$ が $a$ の逆元であるとは次が成り立つことをいう：

$$a \star a^{-1} = e \qquad \text{かつ} \qquad a^{-1} \star a = e \tag{1}$$

両辺が単位元に等しくなければならない。逆元は左からかけても右からかけても機能する。

定義

定義. 群とは、すべての元が逆元を持つモノイド $(G, \star, e)$ のことだ。すなわち、すべての $a \in G$ に対し、式 (1) を満たす $a^{-1} \in G$ が存在する。

まとめると、群 $(G, \star, e)$ はちょうど次の四つの公理を満たす：

公理	条件
閉性（closure）	すべての $a, b \in G$ に対し $a \star b \in G$
結合性（associativity）	$(a \star b) \star c = a \star (b \star c)$
単位元（identity）	$e \star a = a \star e = a$
逆元（inverses）	すべての $a$ に対し、$a \star a^{-1} = a^{-1} \star a = e$ を満たす $a^{-1}$ が存在する

例

整数の加法. $(\mathbb{Z}, +, 0)$ は群だ。整数 $n$ の逆元は $-n$ であり、$n + (-n) = 0$ が成り立つ。

有理数の乗法. ゼロでない有理数全体 $\mathbb{Q} \setminus \{0\}$ の集合は乗法のもとで $(\mathbb{Q} \setminus \{0\},\, \times,\, 1)$ という群をなす。$\frac{p}{q}$ の逆元は $\frac{q}{p}$ で、掛け合わせると $1$ になる。

群でない例——自然数の加法. $(\mathbb{N}, +, 0)$ は群ではない。$3$ の逆元となる自然数は存在しない：$-3$ が必要だが $-3 \notin \mathbb{N}$ だ。

群でない例——整数の乗法. $(\mathbb{Z}, \times, 1)$ は群ではない。$2$ の乗法的逆元となる整数は存在しない：$\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}$ だからだ。

正方形の対称. 正方形をそれ自身に写す剛体運動（回転4つと鏡映4つ）を考えよう。どの二つの運動を合成しても別の運動になり、恒等運動（何もしない）が存在し、すべての運動は元に戻せる。これは群をなし、二面体群（dihedral group）$D_4$ と呼ばれる。

アーベル群

上の例では、元の順序が結果を変えることがある：回転してから鏡映した結果と、鏡映してから回転した結果は異なることがある。しかし $(\mathbb{Z}, +, 0)$ では順序が常に関係ない：すべての整数について $a + b = b + a$ が成り立つ。

群がアーベル（abelian）または可換（commutative）であるとは、すべての $a, b \in G$ に対して $a \star b = b \star a$ が成り立つことをいう。

$$a \star b = b \star a \qquad \forall\, a, b \in G \tag{2}$$

$(\mathbb{Z}, +, 0)$ と $(\mathbb{Q} \setminus \{0\}, \times, 1)$ はアーベル群だ。$D_4$ はそうではない。アーベル群は構造的に単純で、数学全体に渡って現れる。この名はノルウェーの数学者ニールス・ヘンリック・アーベルにちなむ。

基本的な性質

公理から直接導かれる二つの初等的な事実がある。

逆元の一意性. $b$ と $c$ がともに $a$ の逆元だとしよう。すると：

$$b = b \star e = b \star (a \star c) = (b \star a) \star c = e \star c = c$$

ゆえに $b = c$。すべての元はちょうど一つの逆元を持つ。

積の逆元. 任意の $a, b \in G$ に対して：

$$(a \star b)^{-1} = b^{-1} \star a^{-1} \tag{3}$$

$(a \star b) \star (b^{-1} \star a^{-1}) = a \star (b \star b^{-1}) \star a^{-1} = a \star e \star a^{-1} = e$ を確認することで検証できる。順序の逆転に注目しよう：積の逆元は演算を逆順にやり直す——靴下をはいてから靴をはいたとき、元に戻すには靴を脱いでから靴下を脱がなければならないのと同じだ。

まとめ

• 群 $(G, \star, e)$ とは、すべての元 $a$ が $a \star a^{-1} = a^{-1} \star a = e$ を満たす逆元 $a^{-1}$ を持つモノイドだ。
• 四つの群の公理：閉性、結合性、単位元、逆元。
• すべての元はちょうど一つの逆元を持つ。
• 積の逆元は順序を逆にする：$(a \star b)^{-1} = b^{-1} \star a^{-1}$。
• すべての元について $a \star b = b \star a$ が成り立つ群をアーベル群という；$(\mathbb{Z}, +, 0)$ がその典型例だ。
• 群は対称性と可逆性の代数的言語であり、代数、幾何、物理の至るところに現れる。