群（Group） — Project Hematite

么半群給你一個結合的運算和一個什麼都不改變的單位元，但它對「撤銷」隻字未提。如果你把 $5$ 加到一個數上，能回到起點嗎？如果你施加一個旋轉，能將其反轉嗎？**群（group）**是保證每個運算都可逆的么半群。

缺少的東西：反元素

在么半群 $(\mathbb{N}, +, 0)$ 中，把 $5$ 加到 $3$ 得到 $8$ 。但沒有任何自然數可以加到 $8$ 讓你回到 $3$ ——減法把你帶出了 $\mathbb{N}$ 。自然數的加法是么半群，而非群。

將集合擴展到所有整數 $\mathbb{Z}$ ，現在每個元素都有一個能抵消它的伴侶： $3$ 與 $-3$ 配對， $3 + (-3) = 0$ 。這個抵消用的伴侶稱為反元素（inverse）。

正式地，給定一個么半群 $(G, \star, e)$ ，元素 $a^{-1} \in G$ 是 $a$ 的反元素，若：

a \star a^{-1} = e \qquad \text{且} \qquad a^{-1} \star a = e \tag{1}

兩側都必須等於單位元。反元素無論出現在左側還是右側都必須有效。

定義

定義。 群是一個么半群 $(G, \star, e)$ ，其中每個元素都有一個反元素。也就是說，對每個 $a \in G$ ，存在 $a^{-1} \in G$ 滿足方程 (1)。

展開後，群 $(G, \star, e)$ 恰好滿足四條公理：

公理	條件
封閉性	對所有 $a, b \in G$ ， $a \star b \in G$
結合性	$(a \star b) \star c = a \star (b \star c)$
單位元	$e \star a = a \star e = a$
反元素	對每個 $a$ ，存在 $a^{-1}$ 使得 $a \star a^{-1} = a^{-1} \star a = e$

例子

整數在加法下。 $(\mathbb{Z}, +, 0)$ 是一個群。任意整數 $n$ 的反元素是 $-n$ ，因為 $n + (-n) = 0$ 。

有理數在乘法下。 所有非零有理數在乘法下的集合 $(\mathbb{Q} \setminus \{0\},\, \times,\, 1)$ 是一個群。 $\frac{p}{q}$ 的反元素是 $\frac{q}{p}$ ，兩者相乘得 $1$ 。

反例——自然數在加法下。 $(\mathbb{N}, +, 0)$ 不是群。沒有自然數能反轉 $3$ ：你需要 $-3$ ，而它不在 $\mathbb{N}$ 中。

反例——整數在乘法下。 $(\mathbb{Z}, \times, 1)$ 不是群。整數 $2$ 沒有整數反元素： $\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}$ 。

正方形的對稱群。 考慮正方形將自身映射到自身的八種剛體運動（四種旋轉和四種反射）。任意兩種這樣的運動的複合仍是這種運動，存在一個恆等運動（什麼都不做），且每種運動都能被撤銷。這是一個群，稱為二面群（dihedral group） $D_4$ 。

阿貝爾群

在上面的群中，元素的順序是有影響的：旋轉後反射可能與反射後旋轉不同。但對於 $(\mathbb{Z}, +, 0)$ ，順序永遠無關緊要： $a + b = b + a$ 對所有整數成立。

如果對每對 $a, b \in G$ 都有 $a \star b = b \star a$ ，則該群是阿貝爾群（abelian group）（或交換群）。

a \star b = b \star a \qquad \forall\, a, b \in G \tag{2}

$(\mathbb{Z}, +, 0)$ 和 $(\mathbb{Q} \setminus \{0\}, \times, 1)$ 是阿貝爾群。 $D_4$ 不是。阿貝爾群在結構上更簡單，廣泛出現在數學各處；這個詞是為了紀念數學家 Niels Henrik Abel。

基本性質

兩個基本事實直接由公理推出。

反元素是唯一的。 假設 $b$ 和 $c$ 都是 $a$ 的反元素，則：

b = b \star e = b \star (a \star c) = (b \star a) \star c = e \star c = c

所以 $b = c$ 。每個元素恰好有一個反元素。

積的反元素。 對任意 $a, b \in G$ ：

(a \star b)^{-1} = b^{-1} \star a^{-1} \tag{3}

你可以通過驗證 $(a \star b) \star (b^{-1} \star a^{-1}) = a \star (b \star b^{-1}) \star a^{-1} = a \star e \star a^{-1} = e$ 來確認。注意順序的顛倒：積的反元素以相反的順序撤銷各運算，就像先穿襪子再穿鞋，撤銷時必須先脫鞋再脫襪子。

摘要

群 $(G, \star, e)$ 是一個每個元素 $a$ 都有反元素 $a^{-1}$ 且滿足 $a \star a^{-1} = a^{-1} \star a = e$ 的么半群。
四條群公理為：封閉性、結合性、單位元、反元素。
每個元素恰好有一個反元素。
積的反元素顛倒順序： $(a \star b)^{-1} = b^{-1} \star a^{-1}$ 。
如果對所有元素都有 $a \star b = b \star a$ ，則群是阿貝爾群； $(\mathbb{Z}, +, 0)$ 是一個典型例子。
群是對稱性和可逆性的代數語言——這個概念廣泛出現在代數、幾何和物理學中。