線性相依（Linearly Dependent）

Basis
最後更新: 標籤: 線性代數

先備知識

如果你有一組向量，你怎麼知道其中有沒有「冗餘」的——可以用其他向量的線性組合來表達？線性相依給你提供了回答這個問題的精確語言，而答案總等價於求解一個齊次線性方程組。

線性組合

向量 v1,…,vk∈Vv_1, \ldots, v_k \in V 在體 FF 上的**線性組合（linear combination）**是任何形如

c1v1+c2v2+⋯+ckvk,c1,…,ck∈Fc_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_k v_k, \qquad c_1, \ldots, c_k \in F

的表達式。純量 c1,…,ckc_1, \ldots, c_k 稱為組合的係數。線性組合是線性代數中一切的基石——每個張成、每個子空間、每個矩陣-向量乘積，歸根結底都是偽裝的線性組合。

線性相依與線性獨立

集合 {v1,…,vk}⊆V\{v_1, \ldots, v_k\} \subseteq V 是**線性相依（linearly dependent）**的，如果存在純量 c1,…,ck∈Fc_1, \ldots, c_k \in F，不全為零，使得

c_1 v_1 + c_2 v_2 + \cdots + c_k v_k = \mathbf{0}. \tag{1}

至少有一個 ci≠0c_i \ne 0 的方程 (1) 稱為向量間的非平凡線性關係。

反之，集合是線性獨立（linearly independent）的，如果 (1) 的唯一解是平凡關係 c1=c2=⋯=ck=0c_1 = c_2 = \cdots = c_k = 0。等價地，集合中沒有任何向量可以寫成其他向量的線性組合——每個向量都攜帶真正新的資訊。

空集 ∅\emptyset 按慣例是線性獨立的。

與齊次線性方程組的聯繫

以向量為行（column）構成矩陣 A=[v1∣v2∣⋯∣vk]A = [v_1 \mid v_2 \mid \cdots \mid v_k]（在某個基底下寫成行向量）。方程 (1) 恰好是齊次方程組 Ax=0Ax = \mathbf{0}，其中 x=(c1,…,ck)⊤x = (c_1, \ldots, c_k)^\top。

這給出一個直接的計算判準：

{v1,…,vk} 線性相依  ⟺  Ax=0 有非平凡解  ⟺  RREF(A) 至少有一個自由行。\{v_1, \ldots, v_k\} \text{ 線性相依} \iff Ax = \mathbf{0} \text{ 有非平凡解} \iff \text{RREF}(A) \text{ 至少有一個自由行。}

要檢查一組向量是否線性獨立，對行（column）矩陣應用高斯-喬登消去法。若你得到自由變數，集合是相依的；若每行都是樞軸行，集合是獨立的。

幾何直覺

在 R2\mathbb{R}^2 中：

  • 兩個非零向量線性相依當且唯當其中一個是另一個的純量倍——它們是共線的（collinear）（沿過原點的同一直線指向）。
  • 兩個向量線性獨立當且唯當它們不共線，即它們指向真正不同的方向，一起張成整個 R2\mathbb{R}^2。

在 R3\mathbb{R}^3 中：

  • 三個向量線性相依當且唯當它們都共面（coplanar）（它們都在某個過原點的平面中）。在這種情況下，其中一個是另外兩個的線性組合。
  • 三個向量線性獨立當且唯當它們張成整個 R3\mathbb{R}^3——它們指向三個真正不同的方向。

特殊情形

任何包含 0\mathbf{0} 的集合都是線性相依的。 若 v1=0v_1 = \mathbf{0}，取 c1=1c_1 = 1 其他係數為零：1⋅0+0⋅v2+⋯+0⋅vk=01 \cdot \mathbf{0} + 0 \cdot v_2 + \cdots + 0 \cdot v_k = \mathbf{0}。這是一個非平凡關係。直覺上，零向量不攜帶任何方向資訊。

單個非零向量永遠是線性獨立的。 方程 c1v1=0c_1 v_1 = \mathbf{0} 在 v1≠0v_1 \ne \mathbf{0} 的情況下在任何體中都迫使 c1=0c_1 = 0。

向量數多於空間維度。 若 VV 中的向量數超過 dim⁡V\dim V，它們自動線性相依——沒有足夠的「獨立方向」來容納所有向量。

為什麼重要

線性獨立是基底概念的先決條件：基底是一個線性獨立的張成集。若一個張成集有冗餘向量（即某些向量對其他向量線性相依），你可以移除那些冗餘向量而不失去任何張成能力。最小張成集——也是最大獨立集——恰好是基底，在線性子空間中展開。

摘要

  • 線性組合是帶任意純量係數的和 c1v1+⋯+ckvkc_1 v_1 + \cdots + c_k v_k。
  • {v1,…,vk}\{v_1, \ldots, v_k\} 是線性相依的，若有非平凡的線性組合等於 0\mathbf{0}；是線性獨立的，若只有平凡的線性組合等於 0\mathbf{0}。
  • 相依等價於以 viv_i 為行的齊次方程組 Ax=0Ax = \mathbf{0} 有非平凡解，這恰好在 AA 的 RREF 有自由行時發生。
  • 幾何上：相依向量在 R2\mathbb{R}^2 中共線，在 R3\mathbb{R}^3 中共面。
  • 任何包含 0\mathbf{0} 的集合都是相依的；單個非零向量永遠是獨立的。