秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）

Basis
最後更新: 標籤: 線性代數

先備知識

秩-零化度定理是一條維度的守恆定律。當線性映射作用於向量空間時，沒有任何維度會無故消失：它們要麼在像中留存，要麼被核所吸收。這個定理使上述直觀精確化，並立即解釋了為何對方形線性映射而言，單射性和滿射性是等價的。

定理陳述

秩-零化度定理：設 VV 是體 FF 上的有限維向量空間，T:V→WT: V \to W 是線性映射，則

dim⁡(V)=rank⁡(T)+nullity⁡(T).(1)\dim (V) = \operatorname{rank} (T) + \operatorname{nullity} (T). \tag{1}

用文字表述：定義域的維度等於像的維度加上核的維度。

證明

設 k=nullity(T)=dim⁡(ker⁡(T))k = \text{nullity}(T) = \dim(\ker(T))，選取 ker⁡(T)\ker(T) 的一組基底 {u1,…,uk}\{u_1, \ldots, u_k\}。

步驟 1：將基底擴充為 VV 的基底。 由於 ker⁡(T)\ker(T) 是有限維空間 VV 的子空間，可以將 {u1,…,uk}\{u_1, \ldots, u_k\} 擴充為 VV 的完整基底。將多出來的向量記為 v1,…,vrv_1, \ldots, v_r，從而

B={u1,…,uk,v1,…,vr}\mathcal{B} = \{u_1, \ldots, u_k, v_1, \ldots, v_r\}

是 VV 的基底。則 dim⁡(V)=k+r\dim(V) = k + r。

步驟 2：{T(v1),…,T(vr)}\{T(v_1), \ldots, T(v_r)\} 張成 im(T)\text{im}(T)。 任取 w∈im(T)w \in \text{im}(T)，寫 w=T(x)w = T(x)（x∈Vx \in V）。將 xx 用基底 B\mathcal{B} 展開：

x=∑i=1kci ui+∑j=1rdj vj.x = \sum_{i=1}^k c_i\, u_i + \sum_{j=1}^r d_j\, v_j.

對 TT 施行並利用線性性。由於每個 ui∈ker⁡(T)u_i \in \ker(T)，故 T(ui)=0T(u_i) = \mathbf{0}：

w=T(x)=∑i=1kci T(ui)+∑j=1rdj T(vj)=∑j=1rdj T(vj).w = T(x) = \sum_{i=1}^k c_i\, T(u_i) + \sum_{j=1}^r d_j\, T(v_j) = \sum_{j=1}^r d_j\, T(v_j).

故 ww 是 T(v1),…,T(vr)T(v_1), \ldots, T(v_r) 的線性組合，確認它們張成 im(T)\text{im}(T)。

步驟 3：{T(v1),…,T(vr)}\{T(v_1), \ldots, T(v_r)\} 線性獨立。 設 ∑j=1rdj T(vj)=0\sum_{j=1}^r d_j\, T(v_j) = \mathbf{0}，由線性性知 T ⁣(∑j=1rdj vj)=0T\!\left(\sum_{j=1}^r d_j\, v_j\right) = \mathbf{0}，故 ∑jdj vj∈ker⁡(T)\sum_{j} d_j\, v_j \in \ker(T)。因此這個向量是 ker⁡(T)\ker(T) 的基底的線性組合：

∑j=1rdj vj=∑i=1kei ui\sum_{j=1}^r d_j\, v_j = \sum_{i=1}^k e_i\, u_i

對某些純量 eie_i 成立。整理：∑jdj vj−∑iei ui=0\sum_{j} d_j\, v_j - \sum_{i} e_i\, u_i = \mathbf{0}。由於 B\mathcal{B} 是 VV 的基底，所有係數均為零——特別地 d1=⋯=dr=0d_1 = \cdots = d_r = 0。

步驟 4：結論。 {T(v1),…,T(vr)}\{T(v_1), \ldots, T(v_r)\} 是 im(T)\text{im}(T) 的基底，故 rank(T)=r\text{rank}(T) = r。因此：

dim⁡(V)=k+r=nullity(T)+rank(T).□\dim(V) = k + r = \text{nullity}(T) + \text{rank}(T). \qquad \square

幾何詮釋

非正式地說，VV 分成兩個部分：kk 維的核（TT 將其完全壓縮為零）和 rr 維的補（TT 將其同構地映射到 im(T)\text{im}(T)）。總維度守恆：k+r=dim⁡(V)k + r = \dim(V)。維度既不被創造，也不被消滅——它們只是被重新導向。

對方陣的推論

現設 T:Fn→FnT: F^n \to F^n 是矩陣 A∈Mn,n(F)A \in M_{n,n}(F)（方陣）所對應的線性映射。代入 (1)：

n=rank(T)+nullity(T).n = \text{rank}(T) + \text{nullity}(T).

定義域和陪域的維度相同，均為 nn，核和像的維度之和恰好等於 nn。這個嚴格的「預算」產生如下等價性：

定理：對於 T:Fn→FnT: F^n \to F^n（等價地，對 n×nn \times n 矩陣 AA），以下命題等價：

  1. TT 是**單射（injective）**的（ker⁡(T)={0}\ker(T) = \{\mathbf{0}\}，即 nullity(T)=0\text{nullity}(T) = 0）。
  2. TT 是**滿射（surjective）**的（im(T)=Fn\text{im}(T) = F^n，即 rank(T)=n\text{rank}(T) = n）。
  3. TT 是**雙射（bijective）**的（因而有逆映射 T−1T^{-1}）。
  4. rank(A)=n\text{rank}(A) = n（AA 的所有 nn 個直行——等價地，所有 nn 個橫列——線性獨立）。

原因：若零化度為 00，則秩必為 nn（由 (1)），故 TT 同時是單射和滿射的。秩等於 nn 而零化度不為 00 是不可能的，反之亦然——兩個量共享固定的 nn 維「預算」。

這是一個純粹的維度計算現象：在無限維空間中，單射性和滿射性可以各自失敗；但在有限維空間中，對方形映射而言，它們是不可分割的。

具體範例

設 AA 是 4×64 \times 6 矩陣，rank(A)=3\text{rank}(A) = 3。定義域是 F6F^6，故 dim⁡=6\dim = 6。由 (1)：

nullity(A)=6−rank(A)=6−3=3.\text{nullity}(A) = 6 - \text{rank}(A) = 6 - 3 = 3.

核是三維的：在 F6F^6 中有三個線性獨立的向量被 AA 映射到零。像是 F4F^4 內的三維子空間——AA 不可能是滿射的（因為 3<43 < 4）。

摘要

  • 秩-零化度定理：對任意以有限維空間 VV 為定義域的線性映射 T:V→WT: V \to W，有 dim⁡(V)=rank(T)+nullity(T)\dim(V) = \text{rank}(T) + \text{nullity}(T)。
  • 證明思路：將 ker⁡(T)\ker(T) 的基底擴充為 VV 的基底；多出來的向量映射為 im(T)\text{im}(T) 的基底。
  • 幾何詮釋：定義域在核（維度被壓縮為零）與其補（維度同構地映射到像）之間劃分。
  • 對方形映射 T:Fn→FnT: F^n \to F^n：單射性、滿射性和雙射性（可逆性）等價——它們同時耗盡相同的 nn 維預算。