核（Kernel）

當線性映射將一個向量送往零時，它實際上是在「抹除」它——將其壓縮為虛無。核（kernel）收集所有這類向量，精確揭示映射「摧毀」了多少「資訊」。理解核能告訴你映射是否可逆，並給出線性方程組解集的結構。

定義

對於線性映射 $T: V \to W$，$T$ 的核（kernel）（又稱零空間（null space））是 $T$ 送往零的所有輸入的集合：

$\ker(T) \coloneqq \{v \in V : T(v) = \mathbf{0}_W\}.$

核存在於定義域 $V$ 中。它始終非空，因為由線性性知 $T(\mathbf{0}_V) = \mathbf{0}_W$，所以 $\mathbf{0}_V \in \ker(T)$ 在任何情況下都成立。

核是子空間

命題：$\ker(T)$ 是 $V$ 的一個線性子空間。

證明：我們已知 $\mathbf{0}_V \in \ker(T)$，故 $\ker(T)$ 非空。任取 $u, v \in \ker(T)$ 及 $c, d \in F$，由 $T$ 的線性性：

$T(cu + dv) = c\,T(u) + d\,T(v) = c \cdot \mathbf{0}_W + d \cdot \mathbf{0}_W = \mathbf{0}_W.$

故 $cu + dv \in \ker(T)$。由子空間判定准則，$\ker(T)$ 是子空間。$\square$

矩陣的核

對於矩陣 $A \in M_{m,n}(F)$，對應的線性映射是 $T_A(x) = Ax$（如線性映射中所定義）。其核為

$\ker(A) \coloneqq \{x \in F^n : Ax = \mathbf{0}\},$

這正是線性方程式中介紹的齊次方程組 $Ax = \mathbf{0}$ 的解集。

計算核

要求 $\ker(A)$，對 $A$ 本身施行高斯-喬登消去法（而非擴增矩陣——因為右端為 $\mathbf{0}$，消去過程中始終保持為 $\mathbf{0}$）。在 $A$ 的 RREF 中：

• 對應**樞軸行（pivot columns）**的變數是基本變數；用自由變數表示它們。
• 對應**自由行（free columns）**的變數是自由變數；各賦一個參數（$t_1, t_2, \ldots$）。

將一般解寫成向量的線性組合（每個自由變數對應一個向量）。這些向量構成 $\ker(A)$ 的一組基底。

計算範例

求

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}$

的 $\ker(A)$。

施行高斯-喬登消去法：$R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$ 得

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$

這已是 RREF。第 1 行是唯一的樞軸行；第 2 和第 3 行是自由行。令 $x_2 = s$，$x_3 = t$ 為自由變數，則 $x_1 = -2s - 3t$。一般解為：

$x = s \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad s, t \in F.$

故 $\ker(A) = \text{span}\!\left\{ (-2, 1, 0)^\top,\, (-3, 0, 1)^\top \right\}$，是 $F^3$ 的一個二維子空間。

單射性

核精確刻畫 $T$ 何時不是單射（一對一）的。

定理：$T: V \to W$ 是單射的 $\iff$ $\ker(T) = \{\mathbf{0}_V\}$。

證明：（$\Rightarrow$）若 $T$ 是單射且 $T(v) = \mathbf{0}_W = T(\mathbf{0}_V)$，則 $v = \mathbf{0}_V$。（$\Leftarrow$）設 $\ker(T) = \{\mathbf{0}_V\}$ 且 $T(u) = T(v)$，則 $T(u - v) = T(u) - T(v) = \mathbf{0}_W$，故 $u - v \in \ker(T) = \{\mathbf{0}_V\}$，即 $u = v$。$\square$

直觀上：映射是單射的，當且唯當沒有任何東西「在零點碰撞」（或在任何地方碰撞）。若核比 $\{\mathbf{0}_V\}$ 更大，則多個不同的輸入落在同一個輸出上，$T$ 便無法被反轉。

對於 $A \in M_{n,n}(F)$（方陣），單射性等價於齊次方程組 $Ax = \mathbf{0}$ 只有平凡解——即 $A$ 的 RREF 中每一直行都是樞軸行。

零化度

$T$ 的**零化度（nullity）**是其核的維度：

$\text{nullity}(T) \coloneqq \dim(\ker(T)).$

在上面的範例中，$\text{nullity}(A) = 2$。零化度計算核中有多少個「自由度維度」——有多少個線性獨立的方向被 $T$ 壓縮到零。

零化度與 $T$ 的秩（像的維度）之間的關係，在秩-零化度定理中有精確的闡述。

摘要

• $T: V \to W$ 的核是 $\ker(T) = \{v \in V : T(v) = \mathbf{0}_W\}$，始終是 $V$ 的子空間。
• 對於矩陣 $A$，核是齊次方程組 $Ax = \mathbf{0}$ 的解集。
• 計算 $\ker(A)$：將 $A$ 化為 RREF，對自由變數賦予參數，將解寫成基底向量的線性組合。
• $T$ 是單射當且唯當 $\ker(T) = \{\mathbf{0}_V\}$。
• 零化度是 $\dim(\ker(T))$；它計算被壓縮到零的維度個數。