核（カーネル）

線型写像がベクトルをゼロに送るとき、それは実質的にそのベクトルを消している——何もない点に押しつぶしている。核（kernel）はそのようなベクトルをすべて集め、写像がどれだけの「情報」を破壊するかを正確に示す。核を理解すると写像が可逆かどうかがわかり、線型方程式系の解集合の構造が得られる。

定義

線型写像 $T: V \to W$ の核（核空間（null space）とも）とは、$T$ がゼロに送るすべての入力の集合だ：

$\ker(T) \coloneqq \{v \in V : T(v) = \mathbf{0}_W\}.$

核は定義域 $V$ の中に住む。$T(\mathbf{0}_V) = \mathbf{0}_W$ が線型性から常に成り立つため、いかなる場合も $\mathbf{0}_V \in \ker(T)$ となり、核は常に空でない。

核は部分空間

主張：$\ker(T)$ は $V$ の線型部分空間だ。

証明：$\mathbf{0}_V \in \ker(T)$ はすでに知っているので $\ker(T)$ は空でない。$u, v \in \ker(T)$ と $c, d \in F$ を任意に取る。$T$ の線型性から：

$T(cu + dv) = c\,T(u) + d\,T(v) = c \cdot \mathbf{0}_W + d \cdot \mathbf{0}_W = \mathbf{0}_W.$

したがって $cu + dv \in \ker(T)$。部分空間判定基準により、$\ker(T)$ は部分空間だ。$\square$

行列の核

行列 $A \in M_{m,n}(F)$ に対応する線型写像は $T_A(x) = Ax$（線型写像で定義）だ。その核は：

$\ker(A) \coloneqq \{x \in F^n : Ax = \mathbf{0}\},$

これはちょうど線型方程式系で導入した同次方程式系 $Ax = \mathbf{0}$ の解集合だ。

核の計算

$\ker(A)$ を求めるには、$A$ 自体にガウス・ジョルダン消去法を適用する（拡大行列ではなく——右辺は $\mathbf{0}$ なので変換全体を通じて $\mathbf{0}$ のままだ）。$A$ の RREF において：

• ピボット列に対応する変数が基本変数；自由変数を選べばその値が決まる。
• 自由列に対応する変数が自由変数；各変数にパラメータ（$t_1, t_2, \ldots$）を割り当てる。

一般解をベクトルの線型結合（自由変数ごとに一つ）として書く。それらのベクトルが $\ker(A)$ の基底をなす。

計算例

次の行列の $\ker(A)$ を求める：

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}.$

ガウス・ジョルダン：$R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$ で：

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$

これがすでに RREF だ。列 1 が唯一のピボット列；列 2 と 3 が自由列。$x_2 = s$、$x_3 = t$ を自由に設定する。すると $x_1 = -2s - 3t$。一般解は：

$x = s \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad s, t \in F.$

したがって $\ker(A) = \text{span}\!\left\{ (-2, 1, 0)^\top,\, (-3, 0, 1)^\top \right\}$、$F^3$ の二次元の部分空間だ。

単射性

核はちょうど $T$ が単射（一対一）でない場合を特徴付ける。

定理：$T: V \to W$ が単射 $\iff$ $\ker(T) = \{\mathbf{0}_V\}$。

証明：（$\Rightarrow$）$T$ が単射で $T(v) = \mathbf{0}_W = T(\mathbf{0}_V)$ ならば $v = \mathbf{0}_V$。（$\Leftarrow$）$\ker(T) = \{\mathbf{0}_V\}$ と仮定して $T(u) = T(v)$ とする。$T(u - v) = T(u) - T(v) = \mathbf{0}_W$ より $u - v \in \ker(T) = \{\mathbf{0}_V\}$、したがって $u = v$。$\square$

直観的に：写像が単射であることはちょうどゼロで（どこでも）「衝突」がない場合だ。核が $\{\mathbf{0}_V\}$ より大きければ、複数の異なる入力が同じ出力に写り、$T$ は可逆でない。

正方行列 $A \in M_{n,n}(F)$ に対して、単射性は同次方程式系 $Ax = \mathbf{0}$ が自明解しか持たないことと等価だ——すなわち RREF において $A$ のすべての列がピボット列であることと等価だ。

零化次元（nullity）

$T$ の零化次元（nullity）とは核の次元だ：

$\text{nullity}(T) \coloneqq \dim(\ker(T)).$

上の例では $\text{nullity}(A) = 2$ だ。零化次元は核の中にある「自由度の次元数」——$T$ によって零に押しつぶされる線型独立な方向の数——を数える。

零化次元と $T$ のランク（像の次元）の関係は次元定理で精密に述べられる。

まとめ

• $T: V \to W$ の核は $\ker(T) = \{v \in V : T(v) = \mathbf{0}_W\}$ であり、常に $V$ の部分空間だ。
• 行列 $A$ に対して、核は同次方程式系 $Ax = \mathbf{0}$ の解集合だ。
• $\ker(A)$ の計算：$A$ を RREF に簡約し、自由変数にパラメータを割り当て、解を基底ベクトルの線型結合として書く。
• $T$ が単射であることは $\ker(T) = \{\mathbf{0}_V\}$ と同値だ。
• 零化次元は $\dim(\ker(T))$ であり、ゼロに押しつぶされる次元の数を数える。