次元定理（ランク・零化次元定理）

次元定理（rank-nullity theorem）は次元の保存則だ。線型写像がベクトル空間に作用するとき、次元はなんの痕跡も残さず消えることはない：像の中に生き残るか、核に吸収されるかのどちらかだ。定理はこれを精密に述べ、正方線型写像に対して単射性と全射性が一致することを直ちに説明する。

定理の主張

次元定理（rank-nullity theorem）：体 $F$ 上の有限次元ベクトル空間 $V$ と線型写像 $T: V \to W$ に対して：

\dim(V) = \text{rank}(T) + \text{nullity}(T). \tag{1}

言葉で言うと：定義域の次元は像の次元と核の次元の和に等しい。

証明

$k = \text{nullity}(T) = \dim(\ker(T))$ とし、$\ker(T)$ の基底 $\{u_1, \ldots, u_k\}$ を選ぶ。

ステップ 1：$V$ の基底に拡張する。 $\ker(T)$ は有限次元空間 $V$ の部分空間なので、$\{u_1, \ldots, u_k\}$ を $V$ の完全な基底に拡張できる。追加のベクトルを $v_1, \ldots, v_r$ と呼ぶ：

$\mathcal{B} = \{u_1, \ldots, u_k, v_1, \ldots, v_r\}$

が $V$ の基底だ。したがって $\dim(V) = k + r$。

ステップ 2：$\{T(v_1), \ldots, T(v_r)\}$ が $\text{im}(T)$ をスパンする。 任意の $w \in \text{im}(T)$ を取る；$w = T(x)$ となる $x \in V$ を書く。$x$ を基底 $\mathcal{B}$ で展開する：

$x = \sum_{i=1}^k c_i\, u_i + \sum_{j=1}^r d_j\, v_j.$

$T$ を作用させ線型性を使う。各 $u_i \in \ker(T)$ だから $T(u_i) = \mathbf{0}$：

$w = T(x) = \sum_{i=1}^k c_i\, T(u_i) + \sum_{j=1}^r d_j\, T(v_j) = \sum_{j=1}^r d_j\, T(v_j).$

したがって $w$ は $T(v_1), \ldots, T(v_r)$ の線型結合であり、それらが $\text{im}(T)$ をスパンすることが確認された。

ステップ 3：$\{T(v_1), \ldots, T(v_r)\}$ が線型独立。 $\sum_{j=1}^r d_j\, T(v_j) = \mathbf{0}$ と仮定する。線型性から $T\!\left(\sum_{j=1}^r d_j\, v_j\right) = \mathbf{0}$ なので $\sum_{j} d_j\, v_j \in \ker(T)$。したがってこのベクトルは $\ker(T)$ の基底の線型結合として書ける：

$\sum_{j=1}^r d_j\, v_j = \sum_{i=1}^k e_i\, u_i$

となるスカラー $e_i$ が存在する。整理すると：$\sum_{j} d_j\, v_j - \sum_{i} e_i\, u_i = \mathbf{0}$。$\mathcal{B}$ は $V$ の基底なので、すべての係数がゼロ——特に $d_1 = \cdots = d_r = 0$。

ステップ 4：結論。 $\{T(v_1), \ldots, T(v_r)\}$ は $\text{im}(T)$ の基底なので $\text{rank}(T) = r$。したがって：

$\dim(V) = k + r = \text{nullity}(T) + \text{rank}(T). \qquad \square$

解釈

非形式的に言うと、$V$ は二つの部分に分かれる：$k$ 次元の核（$T$ によって完全にゼロに押しつぶされる）と $r$ 次元の補空間（$T$ によって $\text{im}(T)$ に同型に写される）。全次元は保存される：$k + r = \dim(V)$。次元は生まれることも消えることもなく——ただし再配分されるだけだ。

正方行列への帰結

$T: F^n \to F^n$ を行列 $A \in M_{n,n}(F)$（正方行列）を持つ線型写像とする。(1) を適用すると：

$n = \text{rank}(T) + \text{nullity}(T).$

定義域と余域は同じ次元 $n$ を持ち、核と像の次元の和はちょうど $n$ でなければならない。この厳格な予算が次の同値性を生み出す：

定理：$T: F^n \to F^n$（等価的に $n \times n$ 行列 $A$）に対して、次の命題はすべて同値だ：

1. $T$ は単射（$\ker(T) = \{\mathbf{0}\}$、すなわち $\text{nullity}(T) = 0$）。
2. $T$ は全射（$\text{im}(T) = F^n$、すなわち $\text{rank}(T) = n$）。
3. $T$ は全単射（したがって逆写像 $T^{-1}$ を持つ）。
4. $\text{rank}(A) = n$（$A$ の $n$ 本の列——等価的に $n$ 本の行——がすべて線型独立）。

理由：零化次元が $0$ なら、(1) からランクが $n$ でなければならず、$T$ は単射かつ全射だ。ランクが $n$ になることと零化次元が $0$ になることの間に余地はない——二つの量は $n$ の固定された予算を共有する。

これは純粋に次元計算の現象だ：無限次元では単射性と全射性は独立に失敗しうる。有限次元では、正方写像について二者は不可分だ。

具体例

$A$ を $\text{rank}(A) = 3$ の $4 \times 6$ 行列とする。定義域は $F^6$ なので $\dim = 6$。(1) から：

$\text{nullity}(A) = 6 - \text{rank}(A) = 6 - 3 = 3.$

核は三次元だ：$A$ がゼロに写す $F^6$ の線型独立なベクトルが三本存在する。像は $F^4$ の中の三次元だ——$A$ は全射にはなれない（$3 < 4$ なので）。

まとめ

• 次元定理：任意の線型写像 $T: V \to W$（$V$ が有限次元）に対して $\dim(V) = \text{rank}(T) + \text{nullity}(T)$。
• 証明のアイデア：$\ker(T)$ の基底を $V$ の基底に拡張し；追加のベクトルが $\text{im}(T)$ の基底に写る。
• 解釈：定義域は核（ゼロに押しつぶされる次元）とその補空間（像に同型に写される次元）に分かれる。
• 正方写像 $T: F^n \to F^n$ に対して：単射性・全射性・全単射性（可逆性）はすべて同値——同じ $n$ 次元の予算から同時に制約される。