連立一次方程式の解の構造

ガウス・ジョルダン消去法はピボットと自由列を通じて $Ax = b$ の解を分類する。ランク（rank）はたった一つの数で同じ情報をより簡潔に表す。$\text{rank}(A)$ と $\text{rank}([A \mid b])$ を比較すれば解の存在が分かり、$\text{rank}(A)$ と $n$ を比較すれば解がただ一つかどうかが分かる。解が存在するとき、その全体はアフィン部分空間（affine subspace）——$\ker(A)$ を特殊解だけ平行移動した集合——を形成し、その次元はランク・零化域定理が正確に定める。

拡大係数行列のランク

拡大係数行列 $[A \mid b]$ は $A$ と同じ $m$ 行を持ち、列が一つ多い。行簡約すると、$[A \mid b]$ の RREF は $A$ の RREF よりピボットが最大一つ多く、それは追加した最後の列にピボットが現れる場合に限る。したがって

$\text{rank}([A \mid b]) = \begin{cases} \text{rank}(A) & \text{if } b \in \text{col}(A), \\ \text{rank}(A) + 1 & \text{if } b \notin \text{col}(A). \end{cases}$

条件 $b \in \text{col}(A)$ は $Ax = b$ が解を持つための条件そのものであり、上の観察は偶然ではない。

整合性の判定条件

定理: 連立方程式 $Ax = b$ が整合（少なくとも一つの解を持つ）であるための必要十分条件は

$\text{rank}(A) = \text{rank}([A \mid b])$

が成り立つことである。

証明: $[A \mid b]$ を RREF に簡約して $[R \mid c]$ を得る。方程式が非整合であるのは、$[R \mid c]$ のある行が $(0\; 0\; \cdots\; 0 \mid 1)$ という形、すなわち最後の列にピボットが現れる形になる場合に限る。そのような行は $A$ に由来しないピボットを $[A \mid b]$ に加えるから $\text{rank}([A \mid b]) = \text{rank}(A) + 1$ となる。逆にそのような行が現れなければ $[A \mid b]$ の RREF は $A$ の RREF と全く同じピボットを持つから $\text{rank}([A \mid b]) = \text{rank}(A)$ となり、方程式は整合である。$\square$

一意性の判定条件

方程式が整合、すなわち $\text{rank}(A) = \text{rank}([A \mid b]) = r$ であると仮定する。$A$ の RREF は $r$ 個のピボット列と $n - r$ 個の自由列を持つ。各自由列が一つの自由変数を生み、各自由変数が解集合の自由度を一次元増やす。したがって

• $\text{rank}(A) = n$ のとき: 自由変数がなく、解は唯一。
• $\text{rank}(A) < n$ のとき: $n - \text{rank}(A) > 0$ 個の自由変数があり、解は無限に多く存在する。

完全な分類

条件	結果
$\text{rank}(A) < \text{rank}([A \mid b])$	解なし
$\text{rank}(A) = \text{rank}([A \mid b]) = n$	唯一解
$\text{rank}(A) = \text{rank}([A \mid b]) < n$	無限に多くの解

この三つの場合は網羅的であり、すべての連立方程式はそのうち正確に一つに当てはまる。

アフィン部分空間の構造

$Ax = b$ が整合なとき、解全体は幾何学的に整った形をなす。

定理: $x_p$ を $Ax = b$ の任意の特殊解とする。解全体の集合は

$\{x \in F^n : Ax = b\} = x_p + \ker(A) \coloneqq \{x_p + h : h \in \ker(A)\}$

である。

証明:

• （$\supseteq$）任意の $h \in \ker(A)$ に対して $A(x_p + h) = Ax_p + Ah = b + \mathbf{0} = b$ が成り立つので、$x_p + h$ は解である。
• （$\subseteq$）任意の解 $x$ に対して $A(x - x_p) = Ax - Ax_p = b - b = \mathbf{0}$ が成り立つから $x - x_p \in \ker(A)$、よって $x = x_p + (x - x_p) \in x_p + \ker(A)$。$\square$

集合 $x_p + \ker(A)$ は $F^n$ のアフィン部分空間と呼ばれ、線形部分空間 $\ker(A)$ を特殊解 $x_p$ だけ平行移動したものである。これ自体が線形部分空間になるのは $x_p = \mathbf{0}$、すなわち $b = \mathbf{0}$ のときに限る。

解集合の次元

ランク・零化域定理より $\text{nullity}(A) = n - \text{rank}(A)$。$x_p + \ker(A)$ は $\ker(A)$ の平行移動であるから、$\ker(A)$ と同じ次元 $n - \text{rank}(A)$ を持つ。

$\text{rank}(A)$	$\text{nullity}(A)$	解集合の形
$n$	$0$	一点
$n - 1$	$1$	$x_p$ を通る直線
$n - k$	$k$	$x_p$ を通る $k$ 次元アフィン平坦

計算例

$Ax = b$ を解く。ただし

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & -2 \end{pmatrix}, \qquad b = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}.$

ステップ 1: 整合性を確認する。 拡大係数行列を行簡約する。

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 4 & -2 & 6 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$

これが RREF である。ピボットは第 1 列の一つだけなので $\text{rank}(A) = 1$、$\text{rank}([A \mid b]) = 1$。等しいので方程式は整合である。

ステップ 2: 自由変数の個数を数える。 $n = 3$、$\text{rank}(A) = 1$ より自由変数は $3 - 1 = 2$ 個（$x_2$ と $x_3$）。解集合は 2 次元のアフィン部分空間である。

ステップ 3: 特殊解を求める。 自由変数をゼロに設定する: $x_2 = 0$、$x_3 = 0$。すると $x_1 = 3$ となり

$x_p = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.$

ステップ 4: $\ker(A)$ の基底を求める。 RREF から $x_1 = -2x_2 + x_3$。パラメータ $x_2 = s$、$x_3 = t$ を割り当てると

$\ker(A) = \text{span}\!\left\{ \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\; \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}.$

ステップ 5: 解全体を記述する。 アフィン部分空間定理より

$x = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \qquad s, t \in F.$

これは $x_p$ を通る $F^3$ 内の 2 次元アフィン平面である。

$b = (3, 7)^\top$ の場合はどうなるか？ $R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1$ を適用すると $(0, 0, 0 \mid 1)$ という行が現れ、最後の列にピボットが生じる。$\text{rank}([A \mid b]) = 2 \ne 1 = \text{rank}(A)$ となり、方程式は解を持たない。

まとめ

• 整合性の判定条件: $Ax = b$ が整合であるのは $\text{rank}(A) = \text{rank}([A \mid b])$ のときかつそのときに限る。
• 一意性の判定条件: 整合な方程式が唯一解を持つのは $\text{rank}(A) = n$ のときかつそのときに限る。
• 三つの場合: $\text{rank}(A) < \text{rank}([A \mid b])$ は解なし、$\text{rank}(A) = n$ は唯一解、整合かつ $\text{rank}(A) < n$ は無限に多くの解。
• アフィン部分空間定理: 整合な方程式の解全体は、任意の特殊解 $x_p$ に対して $x_p + \ker(A)$ ——核の平行移動——である。
• 次元: 解集合の次元はランク・零化域定理により $\text{nullity}(A) = n - \text{rank}(A)$ である。