像與秩（Image & Rank）

Basis
最後更新: 標籤: 線性代數

先備知識

核（kernel）捕捉線性映射「摧毀」了什麼——即被映射到零的輸入；而像（image）則捕捉它「創造」了什麼：映射可能產生的所有輸出的完整集合。知道像，就能知道哪些目標向量是可達的；而其維度，即秩，衡量映射實際填充了陪域多大的部分。

定義

對於線性映射 T:V→WT: V \to W，TT 的像（image）（又稱值域（range））是 TT 能產生的所有輸出的集合：

im(T)≔{T(v):v∈V}={w∈W:∃ v∈V 使得 T(v)=w}.\text{im}(T) \coloneqq \{T(v) : v \in V\} = \{w \in W : \exists\, v \in V \text{ 使得 } T(v) = w\}.

像存在於陪域 WW 中。向量 w∈Ww \in W 屬於 im(T)\text{im}(T) 當且唯當方程式 T(v)=wT(v) = w 在 VV 中至少有一個解 vv。

像是子空間

命題：im(T)\text{im}(T) 是 WW 的一個線性子空間。

證明：由於 T(0V)=0WT(\mathbf{0}_V) = \mathbf{0}_W，故 0W∈im(T)\mathbf{0}_W \in \text{im}(T)。任取 w1,w2∈im(T)w_1, w_2 \in \text{im}(T) 及 c,d∈Fc, d \in F，存在 v1,v2∈Vv_1, v_2 \in V 使得 T(v1)=w1T(v_1) = w_1，T(v2)=w2T(v_2) = w_2。由線性性，

cw1+dw2=c T(v1)+d T(v2)=T(cv1+dv2)∈im(T).c w_1 + d w_2 = c\,T(v_1) + d\,T(v_2) = T(cv_1 + dv_2) \in \text{im}(T).

故 im(T)\text{im}(T) 在線性組合下封閉，從而是子空間。□\square

行空間

對於矩陣 A∈Mm,n(F)A \in M_{m,n}(F)，寫 A=[a1∣a2∣⋯∣an]A = [a_1 \mid a_2 \mid \cdots \mid a_n]，其中 aj∈Fma_j \in F^m 是 AA 的各直行。對應映射 TA(x)=AxT_A(x) = Ax 的像為

im(A)={Ax:x∈Fn}.\text{im}(A) = \{Ax : x \in F^n\}.

每個乘積 AxAx 都是 AA 的各直行的線性組合：

Ax=x1 a1+x2 a2+⋯+xn an.Ax = x_1\,a_1 + x_2\,a_2 + \cdots + x_n\,a_n.

因此 AA 的像恰好是其直行的張成。FmF^m 的這個子空間稱為 AA 的行空間（column space），常記作 col(A)\text{col}(A)：

col(A)=span(a1,a2,…,an).\text{col}(A) = \text{span}(a_1, a_2, \ldots, a_n).

向量 b∈Fmb \in F^m 屬於 col(A)\text{col}(A) 當且唯當方程組 Ax=bAx = b 至少有一個解——這正是線性方程式中討論的相容性條件。

滿射性

映射 T:V→WT: V \to W 是**滿射（surjective）**的（映到），當且唯當 im(T)=W\text{im}(T) = W——WW 中每個向量都可達。對於矩陣 A∈Mm,n(F)A \in M_{m,n}(F)，滿射性意味著行空間充滿整個 FmF^m，這恰好發生在 AA 的行最簡列矩陣（RREF）每一列都有一個樞軸（pivot）時。

秩

線性映射 TT 的**秩（rank）**是其像的維度：

rank(T)≔dim⁡(im(T)).\text{rank}(T) \coloneqq \dim(\text{im}(T)).

對於矩陣，rank(A)\text{rank}(A) 等於 AA 的 RREF 中的樞軸列數，也等於 AA 的線性獨立直行的個數。

一個重要定理（其證明使用 RREF 論證）指出，矩陣的秩既等於其行空間的維度，也等於其列空間（各列的張成）的維度。用符號表示：線性獨立直行的個數總是等於線性獨立橫列的個數。

計算像與秩

要求 im(A)\text{im}(A) 和 rank(A)\text{rank}(A)，對 AA 施行高斯-喬登消去法：

  1. 將 AA 化為 RREF。
  2. 計算樞軸的個數——此數即為 rank(A)\text{rank}(A)。
  3. AA 的樞軸行（原始矩陣 AA 中，位置對應 RREF 中樞軸位置的直行，在列化簡之前取用）構成 col(A)\text{col}(A) 的一組基底。

重要：應使用原始矩陣 AA 的樞軸行，而非 RREF 中的，因為列運算會改變直行向量，但保留哪些直行是樞軸行這一資訊不變。

計算範例

設

A=(121243122).A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}.

施行高斯-喬登消去法。R2←R2−2R1R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1，R3←R3−R1R_3 \leftarrow R_3 - R_1：

(121001001).\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

R3←R3−R2R_3 \leftarrow R_3 - R_2：

(121001000).\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

R1←R1−R2R_1 \leftarrow R_1 - R_2（回代）：

(120001000).\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

這是 RREF。共有2 個樞軸（第 1 行和第 3 行），故 rank(A)=2\text{rank}(A) = 2。原始 AA 的第一行和第三行構成 col(A)\text{col}(A) 的基底：

col(A)=span ⁣{(121), (132)}.\text{col}(A) = \text{span}\!\left\{ \begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix},\ \begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix} \right\}.

摘要

  • 像 im(T)={T(v):v∈V}\text{im}(T) = \{T(v) : v \in V\} 始終是陪域 WW 的子空間。
  • 對於矩陣 AA，像等於行空間 col(A)=span(a1,…,an)\text{col}(A) = \text{span}(a_1, \ldots, a_n)，且 Ax=bAx = b 有解當且唯當 b∈col(A)b \in \text{col}(A)。
  • TT 是滿射當且唯當 im(T)=W\text{im}(T) = W（每個輸出均可達）。
  • 秩 rank(T)=dim⁡(im(T))\text{rank}(T) = \dim(\text{im}(T)) 等於 AA 的 RREF 中的樞軸個數。
  • 原始矩陣的樞軸行構成行空間的基底。
  • 秩等於行空間和列空間的維度。