微分

檢查點

• 微分的基本法則 Basis 從導數的定義推導線性性、乘積法則與商法則，並以此計算多項式和有理函式的導數，無需從頭回到極限定義。
• 柯西均值定理 Basis 柯西廣義均值定理指出：若 f、g 在 [a, b] 上連續、在 (a, b) 上可微，且 g′ 在 (a, b) 上不為零，則存在 c 使得 (f(b) − f(a))·g′(c) = (g(b) − g(a))·f′(c)。本 checkpoint 以一個巧妙的輔助函式將其歸結為拉格朗日均值定理加以證明。
• 鏈式法則 Basis 鏈式法則（chain rule）表達複合函式的導數：(f ∘ g)′(x) = f′(g(x)) · g′(x)。本 checkpoint 從導數定義出發嚴格證明此法則，處理 g′(x) = 0 的微妙情形，並說明如何藉此對任意可微函式的複合求導。
• 函式為凸函式的微分條件 Basis 對可微函式 f，在區間上為凸函式等價於 f′ 單調不遞減；對二次可微函式 f，等價於 f″ ≥ 0。本 checkpoint 利用拉格朗日均值定理與單調性判定，證明這兩個條件，並示範如何一眼辨認凸函式。
• 凸函式 Basis 區間上的函式為凸函式（convex function），若每條弦均位於圖形上方：對區間中所有 x、y 及 λ ∈ [0, 1]，f(λx + (1−λ)y) ≤ λf(x) + (1−λ)f(y)。本 checkpoint 形式化凸性的定義，區分嚴格凸與非嚴格凸，並梳理基本例子。
• 一點處的導數 Basis f 在 x₀ 處的導數（derivative）是差商 (f(x₀+h)−f(x₀))/h 在 h → 0 時的極限。本 checkpoint 給出精確的 ε–δ 定義，從基本原理計算導數，並說明在一點可微蘊含在該點連續。
• 反函式的導數 Basis 若 f 可微且嚴格單調，且 f′(x) ≠ 0，則其反函式可微，且 (f⁻¹)′(y) = 1 / f′(f⁻¹(y))。本 checkpoint 證明反函式微分公式，並以此計算對數函式和反三角函式的導數。
• 可微函式 Basis 若函式在某區間每一點都有導數，則稱其在該區間上可微（differentiable），從而產生導函式 f′。本 checkpoint 形式化這一概念，對比逐點可微與整體可微，並梳理連續但不可微的函式例子。
• 費馬引理 Basis 若 f 在內部局部極值點 x₀ 處可微，則 f′(x₀) = 0。本 checkpoint 從差商在兩側的符號出發嚴格證明費馬引理（Fermat's lemma），並說明逆命題為何不成立，以及為何極值點必須在內部。
• 高階導數（Higher-Order Derivatives） Basis 若 f 的導函式 f′ 本身也可微，則 f′ 的導數 f″ 就是二階導數——如此反覆即得 f⁽ⁿ⁾。本章節定義高階導數，介紹 n 次與無窮次可微函式的空間 Cⁿ 與 C∞，並概述乘積的萊布尼茲高階導數法則。
• 內部極值（Interior Extremum） Basis 若定義域內部的點 x₀ 在其某鄰域內滿足 f(x) ≤ f(x₀)（或 ≥），則 x₀ 為局部極大（或極小）。本章節對定義加以形式化，並對比嚴格與非嚴格、內部與邊界、局部與全域等不同概念的極值。
• 延森不等式（Jensen's Inequality） Basis 若 f 在某區間上是凸函式，x₁, ..., xₙ 在該區間內，且非負權重 λᵢ 之和為 1，則 f(∑ λᵢxᵢ) ≤ ∑ λᵢf(xᵢ)。本章節以凸性的兩點定義對 n 進行歸納，證明延森不等式，並確定嚴格凸函式的等號成立條件。
• 拉格朗日均值定理 Basis 拉格朗日有限增量定理（均值定理）指出：若 f 在 [a, b] 上連續、在 (a, b) 上可微，則存在 c ∈ (a, b) 使得 f(b) − f(a) = f′(c)(b − a)。本章節通過對輔助函式套用羅爾定理加以證明，並推導標準推論。
• 羅必達法則（L'Hôpital's Rule） Basis 羅必達法則（L'Hôpital's rule）讓你透過將 f/g 替換為 f′/g′，計算 0/0 與 ∞/∞ 型未定式的極限。本章節通過柯西均值定理加以證明，並展示各種未定式如何化歸為這兩種形式。
• 單調性判別法 Basis 在函式可微的區間上，f′ 的符號決定 f 是遞增、遞減還是常數。本章節利用拉格朗日均值定理證明單調性（monotonicity）判別法，並將嚴格單調性與可逆性相聯繫。
• 羅爾定理（Rolle's Theorem） Basis 若 f 在 [a, b] 上連續、在 (a, b) 上可微，且 f(a) = f(b)，則存在某個 c ∈ (a, b) 使得 f′(c) = 0。本章節將極值定理與費馬引理結合以證明羅爾定理，並以此計算多項式的根的個數。
• 切線 Basis 曲線在某點的切線，是割線在第二個點趨近第一個點時的極限。本章節從幾何角度推導極限，建立斜率公式 (f(x+h)−f(x))/h，並預告其極限如何成為導數。
• 泰勒公式（Taylor's Formula） Basis 泰勒公式（Taylor's formula）用一個 n 次多項式——其係數為 f 在 x₀ 處的各階導數除以階乘——在 x₀ 附近近似 n 次可微函式，並附帶明確的餘項。本章節以拉格朗日餘項形式證明泰勒公式，並說明它如何構成初等函式冪級數展開的基礎。