費馬引理 — Project Hematite

平滑山丘的頂峰處斜率必為零——費馬引理（Fermat’s lemma）將這一直覺嚴格化：在內部局部極值點處，切線是水平的。這是每一個均值定理的核心成分。

定理陳述

費馬引理。 設 $f$ 在包含 $x_0$ 的某開區間上有定義。若 $x_0$ 是 $f$ 的局部極值點，且 $f$ 在 $x_0$ 處可微，則

f'(x_0) = 0.

設 $x_0$ 是局部最大值點（最小值的情形對稱）。由局部最大值的定義，存在 $\delta > 0$ 使得

f(x) \leq f(x_0) \quad \text{對所有 } x \in (x_0 - \delta,\, x_0 + \delta)。

考慮差商 $\dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ ， $h \neq 0$ 且 $h$ 足夠小。

對 $h \in (0, \delta)$ ： $f(x_0 + h) - f(x_0) \leq 0$ 且 $h > 0$ ，故差商 $\leq 0$ 。取極限 $h \to 0^+$ 得 $f'(x_0) \leq 0$ 。
對 $h \in (-\delta, 0)$ ： $f(x_0 + h) - f(x_0) \leq 0$ 且 $h < 0$ ，故差商 $\geq 0$ 。取極限 $h \to 0^-$ 得 $f'(x_0) \geq 0$ 。

由於 $f'(x_0)$ 存在，兩個單側極限均等於它。因此 $f'(x_0) \leq 0$ 且 $f'(x_0) \geq 0$ ，迫使 $f'(x_0) = 0$ 。 $\square$

條件 $f'(x_0) = 0$ 不保證局部極值的存在。使 $f'(x_0) = 0$ 的點稱為駐點（stationary point）（或臨界點（critical point）），但它可能既不是最大值也不是最小值。

例。對 $f(x) = x^3$ ，有 $f'(0) = 0$ ，但 $x_0 = 0$ 不是局部極值點： $x < 0$ 時 $f(x) < 0$ ， $x > 0$ 時 $f(x) > 0$ ，函式在 $0$ 處嚴格遞增。

費馬引理要求 $x_0$ 在定義域的內部。在邊界點處，函式只與一側的值比較，單側差商不必為零。

例。 $f(x) = x$ 在 $[0, 1]$ 上， $0$ 處有局部最小值， $1$ 處有局部最大值，但 $f'(0) = f'(1) = 1 \neq 0$ 。