內部極值（Interior Extremum）

Basis
最後更新: 標籤: 微積分, 極值

先備知識

當你描繪函式的圖形並標記「峰」與「谷」時，你正在定位它的局部極值。在能夠證明關於極值的任何定理——例如費馬引理——之前，你需要精確的定義，以區分局部與全域、內部與邊界、嚴格與非嚴格。

局部極大與局部極小

設 ff 定義在集合 D⊆RD \subseteq \mathbb{R} 上，x0∈Dx_0 \in D。

定義。 若存在 δ>0\delta > 0，使得

f(x)≤f(x0)for all x∈D with ∣x−x0∣<δ,f(x) \leq f(x_0) \quad \text{for all } x \in D \text{ with } |x - x_0| < \delta,

則稱 x0x_0 為 ff 的局部極大（local maximum）。

若不等式嚴格成立（即 x≠x0x \neq x_0 時 f(x)<f(x0)f(x) < f(x_0)），則稱 x0x_0 為嚴格局部極大（strict local maximum）。

**局部極小（local minimum）與嚴格局部極小（strict local minimum）**由相反的不等式對稱定義。**局部極值（local extremum）**一詞涵蓋兩種情形。

內部極值與邊界極值

上述定義對 DD 的內部點與邊界點同樣適用。然而，關於極值的大多數定理——包括費馬引理——要求 x0x_0 在 DD 的內部，即存在 δ>0\delta > 0 使得 (x0−δ,x0+δ)⊆D(x_0 - \delta, x_0 + \delta) \subseteq D。

為何此區別重要。 在邊界點，函式僅與單側的值比較。例如，f(x)=xf(x) = x 在 [0,1][0, 1] 上，在 x0=0x_0 = 0 處有局部極小，在 x0=1x_0 = 1 處有局部極大，儘管在兩個端點均有 f′=1≠0f' = 1 \neq 0。駐點條件 f′(x0)=0f'(x_0) = 0 只能在內部點成立。

局部極值與全域極值

全域極大（global maximum）（又稱絕對極大）是 DD 中的點 x0x_0，滿足對所有 x∈Dx \in D 均有 f(x0)≥f(x)f(x_0) \geq f(x)——而不僅僅是附近的點。每個全域極值都是局部極值，但反之不然。

例。 對 f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x 在 R\mathbb{R} 上：每個 sin⁡x=1\sin x = 1 的點既是局部極大也是全域極大，而 sin⁡x=−1\sin x = -1 的點既是局部極小也是全域極小。不存在其他局部極值，因為 sin⁡x\sin x 在兩個方向上都振盪到任意大的 xx 值。

例。 對 f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x 在 R\mathbb{R} 上：x=−1x = -1 是局部極大，f(−1)=2f(-1) = 2；x=1x = 1 是局部極小，f(1)=−2f(1) = -2。兩者都不是全域極值，因為當 x→±∞x \to \pm\infty 時 f(x)→±∞f(x) \to \pm\infty。

以局部性質刻畫

x0∈int⁡(D)x_0 \in \operatorname{int}(D) 是 ff 的局部極大，若且唯若 f−f(x0)f - f(x_0) 在 x0x_0 的某鄰域內非正。這一重新表述直接聯繫到費馬引理中對差商進行符號分析的方法。

摘要

  • x0x_0 是局部極大，若對所有 xx 在 x0x_0 附近（DD 的範圍內）均有 f(x)≤f(x0)f(x) \leq f(x_0)；若 x≠x0x \neq x_0 時不等式嚴格成立，則為嚴格局部極大。
  • 內部極值位於定義域的開內部；邊界極值則不在。
  • 每個全域極值都是局部極值；反之不然。
  • 由 f′(x0)=0f'(x_0) = 0 推導條件的定理，要求極值在內部且 ff 在該點可微。