内部極値

Basis
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前提知識

関数のグラフを描いて「山」や「谷」に印をつけるとき、それは**局所極値（local extrema）**を探している作業だ。フェルマーの補題をはじめとした定理を証明するには、局所と大域、内部と境界、狭義と広義を厳密に区別した定義が必要だ。

局所最大値と局所最小値

ff を集合 D⊆RD \subseteq \mathbb{R} 上で定義された関数、x0∈Dx_0 \in D とする。

定義。 δ>0\delta > 0 が存在して

f(x)≤f(x0)for all x∈D with ∣x−x0∣<δf(x) \leq f(x_0) \quad \text{for all } x \in D \text{ with } |x - x_0| < \delta

が成り立つとき、x0x_0 を ff の**局所最大値（local maximum）**という。

不等式が狭義（x≠x0x \neq x_0 のとき f(x)<f(x0)f(x) < f(x_0)）であれば、x0x_0 は**狭義局所最大値（strict local maximum）**だ。

局所最小値（local minimum）と狭義局所最小値は不等式を逆にすることで対称的に定義される。**局所極値（local extremum）**はどちらの場合も含む総称だ。

内部極値と境界極値

上の定義は DD の内部点にも境界点にも同様に適用される。しかしフェルマーの補題を含む多くの定理では、x0x_0 が DD の**内部（interior）**にあること、すなわち δ>0\delta > 0 が存在して (x0−δ,x0+δ)⊆D(x_0 - \delta, x_0 + \delta) \subseteq D となることを要求する。

この区別が重要な理由。 境界点では関数は片側の値としか比較されない。例えば [0,1][0, 1] 上の f(x)=xf(x) = x は x0=0x_0 = 0 で局所最小値、x0=1x_0 = 1 で局所最大値をもつが、両端点で f′=1≠0f' = 1 \neq 0 だ。f′(x0)=0f'(x_0) = 0 という停留条件は内部点においてのみ成り立ちうる。

局所極値と大域極値

大域最大値（global maximum）（絶対最大値ともいう）とは、DD のすべての xx に対して f(x0)≥f(x)f(x_0) \geq f(x) となる点 x0∈Dx_0 \in D だ——近傍だけでなく定義域全体で比較する。すべての大域極値は局所極値だが、逆は成り立たない。

例。 R\mathbb{R} 上の f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x では、sin⁡x=1\sin x = 1 となるすべての点が局所かつ大域最大値であり、sin⁡x=−1\sin x = -1 となる点が局所かつ大域最小値だ。sin⁡x\sin x はどちらの方向にも任意大きな xx で振動するため、他に局所極値は存在しない。

例。 R\mathbb{R} 上の f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x では、x=−1x = -1 が f(−1)=2f(-1) = 2 の局所最大値、x=1x = 1 が f(1)=−2f(1) = -2 の局所最小値だ。x→±∞x \to \pm\infty で f(x)→±∞f(x) \to \pm\infty となるため、どちらも大域極値ではない。

局所的性質による特徴づけ

x0∈int⁡(D)x_0 \in \operatorname{int}(D) が ff の局所最大値であることは、f−f(x0)f - f(x_0) が x0x_0 のある近傍で非正であることと同値だ。この言い換えは、フェルマーの補題で用いる差分商の符号解析に直結する。

まとめ

  • x0x_0 の近傍（DD 内）のすべての xx に対して f(x)≤f(x0)f(x) \leq f(x_0) が成り立つとき x0x_0 は局所最大値だ；x≠x0x \neq x_0 で不等式が狭義であれば狭義局所最大値だ。
  • 内部極値は定義域の開内部に属す；境界極値はそうでない。
  • すべての大域極値は局所極値だが、逆は成り立たない。
  • f′(x0)=0f'(x_0) = 0 という条件を導く定理は、極値が内部にあることと ff がそこで微分可能であることを必要とする。