フェルマーの補題 — Project Hematite

なめらかな丘に頂上があれば、そこでの傾きはゼロでなければならない。フェルマーの補題はこの直観を厳密にする：内部局所極値において接線は水平だ。これはあらゆる平均値定理の中核をなす。

命題

フェルマーの補題。 $f$ を $x_0$ を含む開区間上で定義された関数とする。 $x_0$ が $f$ の局所極値であり、 $f$ が $x_0$ で微分可能ならば、

f'(x_0) = 0.

$x_0$ が局所最大値の場合を示す（最小値の場合は対称的だ）。局所最大値の定義より、 $\delta > 0$ が存在して

f(x) \leq f(x_0) \quad \text{for all } x \in (x_0 - \delta,\, x_0 + \delta)

が成り立つ。小さい $h \neq 0$ に対する差分商 $\dfrac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ を考える。

$h \in (0, \delta)$ のとき： $f(x_0 + h) - f(x_0) \leq 0$ かつ $h > 0$ なので商は $\leq 0$ だ。 $h \to 0^+$ の極限をとると $f'(x_0) \leq 0$ 。
$h \in (-\delta, 0)$ のとき： $f(x_0 + h) - f(x_0) \leq 0$ かつ $h < 0$ なので商は $\geq 0$ だ。 $h \to 0^-$ の極限をとると $f'(x_0) \geq 0$ 。

$f'(x_0)$ が存在するので、両片側極限はそれに等しい。よって $f'(x_0) \leq 0$ かつ $f'(x_0) \geq 0$ であり、 $f'(x_0) = 0$ が強制される。 $\square$

$f'(x_0) = 0$ という条件は局所極値を保証しない。 $f'(x_0) = 0$ となる点は停留点（stationary point）（または臨界点（critical point））と呼ばれるが、最大値でも最小値でもない場合がある。

例。 $f(x) = x^3$ に対して $f'(0) = 0$ だが、 $x_0 = 0$ は局所極値ではない： $x < 0$ で $f(x) < 0$ 、 $x > 0$ で $f(x) > 0$ であり、関数は $0$ を通じて狭義単調増加している。

フェルマーの補題は $x_0$ が定義域の内部にあることを必要とする。境界点では関数は片側の値としか比較されないため、片側差分商がゼロになる必要はない。

例。 $[0, 1]$ 上の $f(x) = x$ は $0$ で局所最小値、 $1$ で局所最大値をもつ。しかし $f'(0) = f'(1) = 1 \neq 0$ だ。