可微函式

單一點的導數固然有用，但通常你想對函式在整個定義域上求導。本 checkpoint 定義函式在區間上**可微（differentiable）**的含義，並將導數作為一個獨立的函式加以介紹。

導函式

設 $f$ 在開區間 $I$ 上有定義。若 $f$ 在 $I$ 的每一點 $x$ 處均可微，則對應法則 $x \mapsto f'(x)$ 定義了一個新函式——$f$ 的導函式（derivative function），也記作 $f'$、$\dfrac{df}{dx}$ 或 $Df$。

定義。 若對每個 $x \in I$，$f'(x)$ 均存在，則稱 $f$ 在 $I$ 上可微。

閉區間上的可微性

對閉區間 $[a, b]$，端點處的可微性使用單側極限：若 $f$ 在 $(a, b)$ 上可微，且 $f'_+(a)$ 和 $f'_-(b)$ 均存在，則稱 $f$ 在 $[a, b]$ 上可微。

高階導數

若 $f'$ 本身可微，其導數 $(f')' \eqqcolon f''$ 是 $f$ 的二階導數（second derivative）。歸納地，當 $f^{(n-1)}$ 可微時，定義第 $n$ 階導數 $f^{(n)}$。萊布尼茲記號寫作：$\dfrac{d^n f}{dx^n}$。

具有 $n$ 個連續導數的函式稱為 $C^n$。具有所有階導數的函式稱為 $C^\infty$ 或光滑函式（smooth）。

連續但不可微

可微蘊含連續，故每個可微函式都是連續的。逆命題不成立。

例 1——角點（corner）： $f(x) = |x|$ 處處連續。在 $x_0 = 0$ 處，右導數為 $+1$，左導數為 $-1$，故 $f'(0)$ 不存在。

例 2——尖點（cusp）： $f(x) = x^{2/3}$ 在 $0$ 處連續，但 $\dfrac{f(h)-f(0)}{h} = h^{-1/3} \to \pm\infty$；導數不存在。

例 3——導數不連續的可微函式： 對 $x \neq 0$ 定義 $f(x) = x^2 \sin(1/x)$，對 $x = 0$ 定義 $f(0) = 0$。$f$ 處處可微（在 $0$ 處由夾擠定理保證），但 $f'$ 在 $0$ 處不連續。

摘要

• $f$ 在 $I$ 上可微，若對每個 $x \in I$，$f'(x)$ 均存在，從而產生導函式 $f'$。
• 閉區間上的可微性在端點處使用單側極限。
• 第 $n$ 階導數 $f^{(n)}$ 遞歸定義；$C^\infty$ 函式具有所有階導數。
• 連續是可微的必要條件，但非充分條件。