原函數（反導函數）

Basis
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先備知識

微分將一個函數變成它的變化率。原函數則反過來：給定一個變化率，要求重建原來的函數。這個反問題是積分理論的出發點，在從速度求距離、從加速度求位移、或從已知增長率求數量時自然出現。

定義

定義。 設 ff 在區間 I⊆RI \subseteq \mathbb{R} 上有定義。若可微函數 F:I→RF : I \to \mathbb{R} 滿足

F′(x)=f(x)對所有 x∈I，F'(x) = f(x) \quad \text{對所有 } x \in I，

則稱 FF 為 ff 在 II 上的原函數（primitive）（又稱反導函數（antiderivative））。

例子。

  • F(x)=x33F(x) = \tfrac{x^3}{3} 是 f(x)=x2f(x) = x^2 在 R\mathbb{R} 上的原函數，因為 (x33)′=x2\bigl(\tfrac{x^3}{3}\bigr)' = x^2。
  • F(x)=sin⁡xF(x) = \sin x 是 f(x)=cos⁡xf(x) = \cos x 在 R\mathbb{R} 上的原函數。
  • F(x)=ln⁡xF(x) = \ln x 是 f(x)=1xf(x) = \tfrac{1}{x} 在 (0,∞)(0, \infty) 上的原函數。
  • 函數 f(x)=sgn⁡(x)f(x) = \operatorname{sgn}(x)（符號函數）在任何包含 00 的區間上均無原函數，因為導數不能有跳躍間斷點（由 Darboux 定理）。

原函數相差一個常數

一旦有了一個原函數 FF，就能得到無窮多個：對任意常數 C∈RC \in \mathbb{R}，F(x)+CF(x) + C 也是原函數。下面的定理說明這些是全部的原函數。

定理。 若 FF 和 GG 都是 ff 在區間 II 上的原函數，則存在常數 C∈RC \in \mathbb{R} 使得 G(x)−F(x)=CG(x) - F(x) = C。

證明。 令 H≔G−FH \coloneqq G - F。對所有 x∈Ix \in I，

H′(x)=G′(x)−F′(x)=f(x)−f(x)=0.H'(x) = G'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0.

對任意子區間 [x1,x2]⊂I[x_1, x_2] \subset I 施用拉格朗日均值定理：存在 c∈(x1,x2)c \in (x_1, x_2) 使得

H(x2)−H(x1)=H′(c)(x2−x1)=0⋅(x2−x1)=0.H(x_2) - H(x_1) = H'(c)(x_2 - x_1) = 0 \cdot (x_2 - x_1) = 0.

因為 x1,x2∈Ix_1, x_2 \in I 是任意的，HH 在 II 上任意兩點取值相同，故 HH 在 II 上為常數。□\square

區間假設的重要性。 在不連通的定義域（例如兩個不相交開區間的並集）上，導數為零的函數不一定是全局常數——它可以在每個連通分量上取不同的常數值。在不連通定義域上，原函數只在每個分量上唯一至多差一個常數。本節假設 II 是區間（連通的）。

不定積分

ff 的所有原函數構成的族用**不定積分（indefinite integral）**記號表示：

∫f(x) dx  ≔  F(x)+C,\int f(x)\,dx \;\coloneqq\; F(x) + C,

其中 FF 是 ff 的某一個原函數，C∈RC \in \mathbb{R} 是任意常數。符號 ∫⋯dx\int \cdots dx 讀作「⋯\cdots 關於 xx 的不定積分」。

+C+C 不是可省略的裝飾：它記錄了原函數構成一整個族、彼此相差常數這一事實。省去它就意味著聲稱某個特定函數，而非整個族。

不定積分與定積分

這兩種積分記號指的是本質不同的對象：

不定積分 ∫f(x) dx\int f(x)\,dx定積分 ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx
結果函數族 F(x)+CF(x) + C一個實數
取決於被積函數 ff 和變數 xx被積函數 ff 與上下界 a,ba, b
任意常數有——CC 不確定無——值是固定的
所需條件原函數存在ff 的 Riemann 可積性

牛頓-萊布尼茨公式（在下一節中證明）將兩者聯繫起來：若 ff 連續且 FF 是 ff 的任一原函數，則 ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)。

基本原函數表

以下原函數由對右側求導直接驗證。每條在右側有定義的區間上成立。

f(x)f(x)∫f(x) dx\int f(x)\,dx備注
xnx^n（n≠−1n \neq -1）xn+1n+1+C\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C所有 n∈Rn \in \mathbb{R}，若 n∉Zn \notin \mathbb{Z} 則 x>0x > 0
1x\dfrac{1}{x}ln⁡∣x∣+C\ln\lvert x\rvert + Cx≠0x \neq 0；xx 正負各有一個常數
exe^xex+Ce^x + C
sin⁡x\sin x−cos⁡x+C-\cos x + C
cos⁡x\cos xsin⁡x+C\sin x + C
11+x2\dfrac{1}{1+x^2}arctan⁡x+C\arctan x + C
11−x2\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}arcsin⁡x+C\arcsin x + C∣x∣<1\lvert x\rvert < 1
x\sqrt{x}（x>0x > 0）23x3/2+C\dfrac{2}{3}x^{3/2} + Cxnx^n 在 n=12n = \frac{1}{2} 的特例

可以對右側求導來驗證每一條。例如，(ln⁡∣x∣)′=1x(\ln\lvert x\rvert)' = \tfrac{1}{x}（x≠0x \neq 0），(−cos⁡x)′=sin⁡x(-\cos x)' = \sin x。

不定積分的線性

因為微分是線性的，求原函數也是線性的。

定理（線性）。 若 FF 是 ff 在 II 上的原函數，GG 是 gg 在 II 上的原函數，則對任意常數 α,β∈R\alpha, \beta \in \mathbb{R}，

∫[αf(x)+βg(x)] dx  =  αF(x)+βG(x)+C.\int \bigl[\alpha f(x) + \beta g(x)\bigr]\,dx \;=\; \alpha F(x) + \beta G(x) + C.

證明。 (αF+βG)′=αF′+βG′=αf+βg(\alpha F + \beta G)' = \alpha F' + \beta G' = \alpha f + \beta g。□\square

例子。 計算 ∫(3x2−5cos⁡x) dx\displaystyle\int (3x^2 - 5\cos x)\,dx。

由線性與原函數表：

∫(3x2−5cos⁡x) dx  =  3⋅x33−5sin⁡x+C  =  x3−5sin⁡x+C.\int (3x^2 - 5\cos x)\,dx \;=\; 3\cdot\frac{x^3}{3} - 5\sin x + C \;=\; x^3 - 5\sin x + C.

例子。 計算 ∫x3+2xx dx\displaystyle\int \frac{x^3 + 2\sqrt{x}}{x}\,dx（x>0x > 0）。

先化簡被積函數：

x3+2xx=x2+2x=x2+2x−1/2.\frac{x^3 + 2\sqrt{x}}{x} = x^2 + \frac{2}{\sqrt{x}} = x^2 + 2x^{-1/2}.

再由線性：

∫ ⁣(x2+2x−1/2)dx=x33+2⋅x1/21/2+C=x33+4x+C.\int \!\left(x^2 + 2x^{-1/2}\right)dx = \frac{x^3}{3} + 2\cdot\frac{x^{1/2}}{1/2} + C = \frac{x^3}{3} + 4\sqrt{x} + C.

摘要

  • ff 在區間 II 上的原函數（反導函數）是可微函數 FF，滿足 F′=fF' = f。
  • ff 在 II 上的任意兩個原函數相差一個常數：若 F′=G′=fF' = G' = f，則 G=F+CG = F + C（C∈RC \in \mathbb{R}）。這由拉格朗日均值定理施用於 G−FG - F 得出。
  • 不定積分 ∫f(x) dx≔F(x)+C\int f(x)\,dx \coloneqq F(x) + C 表示所有原函數構成的族；+C+C 不可省略。
  • 不定積分是函數族；定積分 ∫abf\int_a^b f 是數值。牛頓-萊布尼茨公式將兩者聯繫起來。
  • 線性：∫(αf+βg) dx=α∫f dx+β∫g dx\int (\alpha f + \beta g)\,dx = \alpha \int f\,dx + \beta \int g\,dx（至多差一個常數）。
  • 標準原函數表——冪函數、exe^x、sin⁡\sin、cos⁡\cos、1/x1/x、反三角函數——由已知微分公式反向得出。