牛頓-萊布尼茨公式

Basis
最後更新: 標籤: 微積分, 積分

先備知識

在牛頓-萊布尼茨公式（Newton-Leibniz formula）被理解之前，計算定積分 ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx 意味著構造黎曼和、取極限，並設法辨認極限等於什麼——每遇到新的被積函數就得從頭來過。這個公式，又稱微積分基本定理，一舉突破了這一困境：它說積分與微分是互逆運算，因此計算 ∫abf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx 只需找到一個導數為 ff 的函數，再取其在端點的差值即可。這個觀察將數頁的極限論證化為一行計算。

定理在邏輯上分為兩個獨立部分。第一部分說明帶有變動上限的積分本身是可微的；第二部分說明任何原函數（反導函數）都可以用來計算積分。合在一起，它們構成初等微積分中最深刻的結論。

第一部分：變上限積分是原函數

設 ff 在 [a,b][a, b] 上連續。由於 ff 連續，它在每個子區間上均 Riemann 可積，因此

F(x)≔∫axf(t) dt,x∈[a,b],F(x) \coloneqq \int_a^x f(t)\,dt, \qquad x \in [a, b],

是良定義的。我們稱 FF 為變上限積分函數，命題是：FF 在 [a,b][a, b] 的每個點處均可微，且 F′(x)=f(x)F'(x) = f(x)。

第一部分的證明

固定 x∈(a,b)x \in (a, b)，取 h≠0h \neq 0 足夠小使得 x+h∈[a,b]x + h \in [a, b]。由積分的可加性，

F(x+h)−F(x)=∫ax+hf(t) dt−∫axf(t) dt=∫xx+hf(t) dt.F(x + h) - F(x) = \int_a^{x+h} f(t)\,dt - \int_a^x f(t)\,dt = \int_x^{x+h} f(t)\,dt.

除以 hh，得差商

F(x+h)−F(x)h=1h∫xx+hf(t) dt.\frac{F(x+h) - F(x)}{h} = \frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t)\,dt.

由於 ff 在 xx 與 x+hx+h 之間的區間上連續，積分均值定理保證存在介於 xx 與 x+hx + h 之間的點 ξh\xi_h，使得

∫xx+hf(t) dt=f(ξh)⋅h.\int_x^{x+h} f(t)\,dt = f(\xi_h)\cdot h.

代入差商，

F(x+h)−F(x)h=f(ξh).\frac{F(x+h) - F(x)}{h} = f(\xi_h).

當 h→0h \to 0 時，ξh\xi_h 被夾在 xx 與 x+hx + h 之間，故 ξh→x\xi_h \to x。由 ff 的連續性，

f(ξh)→f(x).f(\xi_h) \to f(x).

因此差商收斂到 f(x)f(x)，這正是可微性的定義：

F′(x)=f(x).□F'(x) = f(x). \qquad \square

在端點 aa 和 bb 處同樣的論證用單側極限給出結論。第一部分告訴我們：每個連續函數都有原函數，且變上限積分函數是一個顯式的原函數。

第二部分：利用任意原函數計算定積分

牛頓-萊布尼茨公式的第二部分說：若 GG 是 ff 在 [a,b][a, b] 上的任意原函數——即對所有 x∈[a,b]x \in [a, b] 均有 G′(x)=f(x)G'(x) = f(x)——則

∫abf(x) dx=G(b)−G(a).\int_a^b f(x)\,dx = G(b) - G(a).

第二部分的證明

由第一部分已知 F(x)=∫axf(t) dtF(x) = \int_a^x f(t)\,dt 是 ff 的一個原函數。由於 GG 也是 ff 的原函數，差函數 G−FG - F 滿足

(G−F)′(x)=G′(x)−F′(x)=f(x)−f(x)=0(G - F)'(x) = G'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0

對所有 x∈[a,b]x \in [a, b] 成立。由原函數相差常數定理（由拉格朗日均值定理推出），在區間上導數為零的函數是常數。故存在 C∈RC \in \mathbb{R} 使得

G(x)=F(x)+C對所有 x∈[a,b].G(x) = F(x) + C \quad \text{對所有 } x \in [a, b].

在兩端點代入。在 x=ax = a 處：

G(a)=F(a)+C=∫aaf(t) dt+C=0+C=C.G(a) = F(a) + C = \int_a^a f(t)\,dt + C = 0 + C = C.

在 x=bx = b 處：

G(b)=F(b)+C=∫abf(t) dt+C.G(b) = F(b) + C = \int_a^b f(t)\,dt + C.

兩式相減：

G(b)−G(a)=∫abf(t) dt.□G(b) - G(a) = \int_a^b f(t)\,dt. \qquad \square

方括號記號

慣例上記作

[G(x)]ab≔G(b)−G(a).\bigl[G(x)\bigr]_a^b \coloneqq G(b) - G(a).

這個記號簡潔，並減少符號錯誤的風險。有了它，牛頓-萊布尼茨公式寫成

∫abf(x) dx=[G(x)]ab,\int_a^b f(x)\,dx = \bigl[G(x)\bigr]_a^b,

其中 GG 是 ff 的任意原函數。可以在 GG 上加任意常數而不影響結果，因為常數在 G(b)−G(a)G(b) - G(a) 中相消；這就是為何原函數的選取不影響結果。

例題

例一：∫01x2 dx\int_0^1 x^2\,dx

f(x)=x2f(x) = x^2 的原函數是 G(x)=x33G(x) = \dfrac{x^3}{3}。套用牛頓-萊布尼茨公式：

∫01x2 dx=[x33]01=133−033=13.\int_0^1 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}.

例二：∫0πsin⁡x dx\int_0^\pi \sin x\,dx

sin⁡x\sin x 的原函數是 −cos⁡x-\cos x。因此

∫0πsin⁡x dx=[−cos⁡x]0π=(−cos⁡π)−(−cos⁡0)=1+1=2.\int_0^\pi \sin x\,dx = \bigl[-\cos x\bigr]_0^\pi = (-\cos\pi) - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2.

幾何上，結果 22 是正弦曲線一個弓形在 xx 軸以上的面積，這個驗算令人滿意。

例三：∫1e1x dx\int_1^e \frac{1}{x}\,dx

1x\dfrac{1}{x} 在 (0,∞)(0, \infty) 上的原函數是 ln⁡x\ln x。因此

∫1e1x dx=[ln⁡x]1e=ln⁡e−ln⁡1=1−0=1.\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = \bigl[\ln x\bigr]_1^e = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1.

這確認了 ee 的幾何意義：ee 恰好是使 y=1/xy = 1/x 從 11 到 ee 的面積等於 11 的那個數。

摘要

  • 第一部分（FTC1）：若 ff 在 [a,b][a, b] 上連續，則 F(x)≔∫axf(t) dtF(x) \coloneqq \int_a^x f(t)\,dt 可微且 F′(x)=f(x)F'(x) = f(x)。特別地，每個連續函數都有原函數。
  • 第二部分（FTC2）：若 GG 是 ff 在 [a,b][a, b] 上的任意原函數，則 ∫abf(x) dx=G(b)−G(a)=[G(x)]ab\int_a^b f(x)\,dx = G(b) - G(a) = \bigl[G(x)\bigr]_a^b。
  • 第一部分的證明用積分均值定理將差商的極限辨認為 f(x)f(x)。
  • 第二部分的證明用同一函數的兩個原函數相差常數這一事實（來自原函數節），再代入 x=ax = a 確定該常數。
  • 方括號記號 [G(x)]ab=G(b)−G(a)\bigl[G(x)\bigr]_a^b = G(b) - G(a) 是代入步驟的簡潔縮寫。
  • 該公式完全解耦了最初看似不可分的兩個問題：計算面積（定積分）和求反導函數（原函數）。要積分，只需反向微分。