積分均值定理

Basis
最後更新: 標籤: 微積分, 積分, 均值定理

先備知識

假設你開車兩小時行駛了 120 公里，那麼平均速度是 60 公里/小時。在某個瞬間，你的速度恰好等於這個平均值。積分版本的這個事實說的是：連續函數的平均值必然在區間上的某點被取到。這就是積分均值定理（mean value theorem for integrals），也是證明變上限積分函數可微的關鍵步驟。

定理陳述

定理（積分均值定理）。 設 f:[a,b]→Rf : [a, b] \to \mathbb{R} 為連續函數。則存在 ξ∈[a,b]\xi \in [a, b] 使得

∫abf(x) dx  =  f(ξ) (b−a).\int_a^b f(x)\,dx \;=\; f(\xi)\,(b - a).

等價地，ff 在 [a,b][a, b] 上的平均值，定義為 1b−a∫abf(x) dx\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx，由 ff 在某個內點取到。

證明

由於 ff 在閉有界區間 [a,b][a, b] 上連續，它取到最小值 m≔min⁡[a,b]fm \coloneqq \min_{[a,b]} f 和最大值 M≔max⁡[a,b]fM \coloneqq \max_{[a,b]} f（由極值定理）。由積分單調性，將 ff 與常數函數 mm 和 MM 比較，得

m(b−a)  ≤  ∫abf(x) dx  ≤  M(b−a).m(b - a) \;\leq\; \int_a^b f(x)\,dx \;\leq\; M(b - a).

除以 b−a>0b - a > 0：

m  ≤  1b−a∫abf(x) dx  ≤  M.m \;\leq\; \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx \;\leq\; M.

量 μ≔1b−a∫abf(x) dx\mu \coloneqq \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx 介於 ff 在 [a,b][a, b] 上的最小值和最大值之間。由於 ff 在 [a,b][a, b] 上連續，中間值定理保證存在 ξ∈[a,b]\xi \in [a, b] 使得 f(ξ)=μf(\xi) = \mu。兩邊乘以 (b−a)(b - a) 即得結論。□\square

帶權版本

更一般的形式以非負權函數取代區間長度 b−ab - a。

定理（帶權積分均值定理）。 設 f:[a,b]→Rf : [a, b] \to \mathbb{R} 連續，g:[a,b]→Rg : [a, b] \to \mathbb{R} 可積且對所有 x∈[a,b]x \in [a, b] 均有 g(x)≥0g(x) \geq 0。則存在 ξ∈[a,b]\xi \in [a, b] 使得

∫abf(x) g(x) dx  =  f(ξ)∫abg(x) dx.\int_a^b f(x)\,g(x)\,dx \;=\; f(\xi)\int_a^b g(x)\,dx.

證明。 同樣令 m=min⁡[a,b]fm = \min_{[a,b]} f，M=max⁡[a,b]fM = \max_{[a,b]} f。由 g≥0g \geq 0 且 m≤f≤Mm \leq f \leq M，單調性給出

m∫abg(x) dx  ≤  ∫abf(x) g(x) dx  ≤  M∫abg(x) dx.m \int_a^b g(x)\,dx \;\leq\; \int_a^b f(x)\,g(x)\,dx \;\leq\; M \int_a^b g(x)\,dx.

情形一： ∫abg=0\int_a^b g = 0。則左側積分也為 00（因為 0≤∫fg≤00 \leq \int fg \leq 0），故等式 ∫fg=f(ξ)⋅0\int fg = f(\xi) \cdot 0 對任意 ξ\xi 均成立。取 ξ=a\xi = a。

情形二： ∫abg>0\int_a^b g > 0。將不等式除以 ∫abg\int_a^b g，得

m  ≤  ∫abf(x) g(x) dx∫abg(x) dx  ≤  M.m \;\leq\; \frac{\displaystyle\int_a^b f(x)\,g(x)\,dx}{\displaystyle\int_a^b g(x)\,dx} \;\leq\; M.

由中間值定理（論證同前）存在 ξ∈[a,b]\xi \in [a, b] 使得 f(ξ)f(\xi) 等於該比值。□\square

不帶權的定理是 g≡1g \equiv 1 的特殊情形。

幾何解釋：平均值

定義 ff 在 [a,b][a, b] 上的平均值為

⟨f⟩  ≔  1b−a∫abf(x) dx.\langle f \rangle \;\coloneqq\; \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx.

幾何上，⟨f⟩\langle f \rangle 是以 [a,b][a, b] 為底邊、面積等於 ∫abf\int_a^b f 的矩形的高。積分均值定理說這個矩形與曲線下方區域面積相等：曲線在 ξ\xi 處的高度等於矩形的高度。換言之，連續函數必然通過自身的平均值。

這個解釋對估計很有用：若已知 ff 在 [a,b][a, b] 上有界 m≤f≤Mm \le f \le M，則

m  ≤  ⟨f⟩  ≤  M,m \;\leq\; \langle f \rangle \;\leq\; M,

無需精確計算即可對積分給出界。

例題

問題。 證明 ∫01e−x2 dx∈(e−1, 1)\displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}\,dx \in \bigl(e^{-1},\, 1\bigr)。

解。 函數 f(x)=e−x2f(x) = e^{-x^2} 在 [0,1][0,1] 上連續且嚴格遞減，f(0)=1f(0) = 1，f(1)=e−1f(1) = e^{-1}。由積分單調性，

e−1⋅1  ≤  ∫01e−x2 dx  ≤  1⋅1,e^{-1} \cdot 1 \;\leq\; \int_0^1 e^{-x^2}\,dx \;\leq\; 1 \cdot 1,

故積分落在 [e−1,1][e^{-1}, 1] 中。由於 ff 嚴格遞減且非常數，不等式嚴格成立：

∫01e−x2 dx  ∈  (e−1, 1).\int_0^1 e^{-x^2}\,dx \;\in\; \bigl(e^{-1},\, 1\bigr).

積分均值定理保證存在某個 ξ∈(0,1)\xi \in (0, 1) 使得 e−ξ2=∫01e−x2 dxe^{-\xi^2} = \int_0^1 e^{-x^2}\,dx——雖然無法用閉合形式求出這個 xx 值，但它確實存在。

數值驗算。 積分約為 0.74680.7468，確實落在 (e−1,1)≈(0.368,1)(e^{-1}, 1) \approx (0.368, 1) 之中。

摘要

  • 積分均值定理：若 ff 在 [a,b][a, b] 上連續，則對某個 ξ∈[a,b]\xi \in [a, b] 有 ∫abf(x) dx=f(ξ)(b−a)\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = f(\xi)(b-a)。
  • 證明：由單調性得界 m(b−a)≤∫f≤M(b−a)m(b-a) \leq \int f \leq M(b-a)，再結合連續函數的中間值定理，保證平均值被取到。
  • 帶權版本：若 g≥0g \geq 0 可積，則對某個 ξ∈[a,b]\xi \in [a, b] 有 ∫fg=f(ξ)∫g\int fg = f(\xi)\int g。
  • 平均值：⟨f⟩=1b−a∫abf\langle f \rangle = \frac{1}{b-a}\int_a^b f 是等面積矩形的高；定理指出 f(ξ)=⟨f⟩f(\xi) = \langle f \rangle 在某個 ξ\xi 處成立。
  • 此定理直接用於牛頓-萊布尼茨公式的證明，用來對變上限函數的差商進行估計。