積分に関する平均値定理

Basis
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前提知識

2時間運転して120 kmをカバーした場合、平均速度は60 km/hであった。その瞬間のある瞬間に正確にその平均を移動していたはずだ。この事実の積分版は次の通りである。連続関数の平均値は、実は区間のどこかの点で達成される。これが積分に関する平均値定理で、変数上限関数が微分可能であることを証明する重要な成分である。

陳述

定理（積分に関する平均値定理）。 f:[a,b]→Rf : [a, b] \to \mathbb{R} を連続とする。そうするとある ξ∈[a,b]\xi \in [a, b] が存在して

∫abf(x) dx  =  f(ξ) (b−a).\int_a^b f(x)\,dx \;=\; f(\xi)\,(b - a).

が成り立つ。

同等に、[a,b][a, b] 上の ff の平均値 1b−a∫abf(x) dx\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx は、ある内部点で ff によって達成される。

証明

ff が閉有界区間 [a,b][a, b] で連続であるから、その最小値 m≔min⁡[a,b]fm \coloneqq \min_{[a,b]} f と最大値 M≔max⁡[a,b]fM \coloneqq \max_{[a,b]} f を達成する（極値定理）。積分の単調性により、ff を定数関数 mm と MM と比較することで

m(b−a)  ≤  ∫abf(x) dx  ≤  M(b−a).m(b - a) \;\leq\; \int_a^b f(x)\,dx \;\leq\; M(b - a).

b−a>0b - a > 0 で割ると：

m  ≤  1b−a∫abf(x) dx  ≤  M.m \;\leq\; \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx \;\leq\; M.

量 μ≔1b−a∫abf(x) dx\mu \coloneqq \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx は [a,b][a, b] 上の ff の最小値と最大値の間にある。ff が [a,b][a, b] で連続であるから、中間値定理はある ξ∈[a,b]\xi \in [a, b] の存在を保証して f(ξ)=μf(\xi) = \mu である。両方を (b−a)(b - a) で掛けると結果を得る。□\square

加重版

より一般的な形式は、長さ b−ab - a を非負の加重関数に置き換える。

定理（加重積分に関する平均値定理）。 f:[a,b]→Rf : [a, b] \to \mathbb{R} を連続とし、g:[a,b]→Rg : [a, b] \to \mathbb{R} を積分可能で、すべての x∈[a,b]x \in [a, b] で g(x)≥0g(x) \geq 0 とする。そうするとある ξ∈[a,b]\xi \in [a, b] が存在して

∫abf(x) g(x) dx  =  f(ξ)∫abg(x) dx.\int_a^b f(x)\,g(x)\,dx \;=\; f(\xi)\int_a^b g(x)\,dx.

証明。 再び m=min⁡[a,b]fm = \min_{[a,b]} f と M=max⁡[a,b]fM = \max_{[a,b]} f とする。g≥0g \geq 0 と m≤f≤Mm \leq f \leq M から、単調性により

m∫abg(x) dx  ≤  ∫abf(x) g(x) dx  ≤  M∫abg(x) dx.m \int_a^b g(x)\,dx \;\leq\; \int_a^b f(x)\,g(x)\,dx \;\leq\; M \int_a^b g(x)\,dx.

ケース1： ∫abg=0\int_a^b g = 0。次に左積分も 0（0≤∫fg≤00 \leq \int fg \leq 0 から）であるから、任意の ξ\xi に対して方程式 ∫fg=f(ξ)⋅0\int fg = f(\xi) \cdot 0 は成り立つ。ξ=a\xi = a としよう。

ケース2： ∫abg>0\int_a^b g > 0。不等式を ∫abg\int_a^b g で割ると

m  ≤  ∫abf(x) g(x) dx∫abg(x) dx  ≤  M.m \;\leq\; \frac{\displaystyle\int_a^b f(x)\,g(x)\,dx}{\displaystyle\int_a^b g(x)\,dx} \;\leq\; M.

IVT（前と同じ議論）により、ある ξ∈[a,b]\xi \in [a, b] が存在して f(ξ)f(\xi) がその比に等しい。□\square

非加重定理は特別な場合 g≡1g \equiv 1 である。

幾何学的解釈：平均値

[a,b][a, b] 上 ff の平均値を定義する

⟨f⟩  ≔  1b−a∫abf(x) dx.\langle f \rangle \;\coloneqq\; \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx.

幾何学的には、⟨f⟩\langle f \rangle は底辺 [a,b][a, b] で面積が ∫abf\int_a^b f に等しい矩形の高さである。平均値定理は、この矩形が曲線下の領域と同じ面積を持つと述べる。異なる方法で述べると、連続関数はその平均を通す必要がある。

この解釈は推定に有用である。ff が [a,b][a, b] で mm と MM の間に有界であると知っているなら、

m  ≤  ⟨f⟩  ≤  M,m \;\leq\; \langle f \rangle \;\leq\; M,

正確に計算することなく積分を制限する。

計算例

問題。 ∫01e−x2 dx∈(e−1, 1)\displaystyle\int_0^1 e^{-x^2}\,dx \in \bigl(e^{-1},\, 1\bigr) であることを示す。

解答。 関数 f(x)=e−x2f(x) = e^{-x^2} は連続で [0,1][0,1] 上で厳密に減少し、f(0)=1f(0) = 1 と f(1)=e−1f(1) = e^{-1} である。積分の単調性により、

e−1⋅1  ≤  ∫01e−x2 dx  ≤  1⋅1,e^{-1} \cdot 1 \;\leq\; \int_0^1 e^{-x^2}\,dx \;\leq\; 1 \cdot 1,

したがって積分は [e−1,1][e^{-1}, 1] に属する。ff は厳密に減少し、定数ではないから、不等式は厳密である：

∫01e−x2 dx  ∈  (e−1, 1).\int_0^1 e^{-x^2}\,dx \;\in\; \bigl(e^{-1},\, 1\bigr).

平均値定理は、ある ξ∈(0,1)\xi \in (0, 1) に対して e−ξ2=∫01e−x2 dxe^{-\xi^2} = \int_0^1 e^{-x^2}\,dx であることを保証する — 閉じた形で見つけることはできなくても、その性質を満たす特定の xx 値がある。

数値チェック。 積分は約 0.7468 で、実際に (e−1,1)≈(0.368,1)(e^{-1}, 1) \approx (0.368, 1) に属する。

まとめ

  • 積分に関する平均値定理：ff が [a,b][a, b] で連続なら、∫abf(x) dx=f(ξ)(b−a)\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = f(\xi)(b-a) がある ξ∈[a,b]\xi \in [a, b] に対して成り立つ。
  • 証明：単調性からの限度 m(b−a)≤∫f≤M(b−a)m(b-a) \leq \int f \leq M(b-a)、連続関数の IVT と組み合わせ、平均値が達成されることを保証する。
  • 加重版：g≥0g \geq 0 が積分可能なら、ある ξ∈[a,b]\xi \in [a, b] に対して ∫fg=f(ξ)∫g\int fg = f(\xi)\int g。
  • 平均値：⟨f⟩=1b−a∫abf\langle f \rangle = \frac{1}{b-a}\int_a^b f は同じ面積の矩形の高さ；定理は ξ\xi 上で f(ξ)=⟨f⟩f(\xi) = \langle f \rangle。
  • 定理は、変数上限関数の差分商を制限するために、ニュートン—ライプニッツの公式の証明で直接使われる。