積分の単調性

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前提知識

積分をダルボー和の極限として定義した直後に最初に理解すべきことは、その性質である。最も有用で、かつ最も直感的な事実の一つは：一つの関数が別の関数より上にあれば、その積分がより大きいということである。この単一の性質 — 単調性 — は、積分に関する事実上すべての推定の源泉である。

単調性

定理。 f,g:[a,b]→Rf, g: [a,b] \to \mathbb{R} をリーマン積分可能とする。すべての x∈[a,b]x \in [a,b] に対して f(x)≤g(x)f(x) \le g(x) が成り立つなら、

∫abf(x) dx  ≤  ∫abg(x) dx.\int_a^b f(x)\,dx \;\le\; \int_a^b g(x)\,dx.

証明。 任意の分割 PP に対して、すべての上ダルボー和は U(f,P)≤U(g,P)U(f, P) \le U(g, P) を満たす。なぜなら sup⁡[xi−1,xi]f≤sup⁡[xi−1,xi]g\sup_{[x_{i-1},x_i]} f \le \sup_{[x_{i-1},x_i]} g だからである。すべての分割に対して下限をとると ∫abf≤∫ab‾g=∫abg\int_a^b f \le \overline{\int_a^b} g = \int_a^b g を得る。（下和を使った同じ議論も機能する。）□\square

積分の線形性

単調性に付随して、積分は線形である。ff と gg が積分可能で α,β∈R\alpha, \beta \in \mathbb{R} のとき、αf+βg\alpha f + \beta g は積分可能で

∫ab(αf+βg)=α∫abf+β∫abg.\int_a^b (\alpha f + \beta g) = \alpha \int_a^b f + \beta \int_a^b g.

が成り立つ。これは定義から従う。和の線形性が上限・下限を通って積分に伝播する。

絶対値の推定

系。 ff が [a,b][a,b] で積分可能なら、∣f∣|f| も積分可能で

∣∫abf(x) dx∣  ≤  ∫ab∣f(x)∣ dx.\left|\int_a^b f(x)\,dx\right| \;\le\; \int_a^b |f(x)|\,dx.

が成り立つ。

証明。 −∣f(x)∣≤f(x)≤∣f(x)∣-|f(x)| \le f(x) \le |f(x)| から単調性を二回適用する：

−∫ab∣f∣  ≤  ∫abf  ≤  ∫ab∣f∣.-\int_a^b |f| \;\le\; \int_a^b f \;\le\; \int_a^b |f|.

これは ∣∫abf∣≤∫ab∣f∣|\int_a^b f| \le \int_a^b |f| と同値である。（∣f∣|f| の積分可能性は、任意の区間上での ∣f∣|f| の振動が ff の振動以下であるから、ダルボーの判定法が引き継がれることから従う。）□\square

この推定は、和の三角不等式 ∣∑ai∣≤∑∣ai∣|\sum a_i| \le \sum |a_i| の積分アナログである。

点ごとの推定を通じた範囲設定

系。 ff が積分可能で、すべての x∈[a,b]x \in [a,b] に対して m≤f(x)≤Mm \le f(x) \le M が成り立つなら、

m(b−a)  ≤  ∫abf(x) dx  ≤  M(b−a).(1)m(b-a) \;\le\; \int_a^b f(x)\,dx \;\le\; M(b-a). \tag{1}

証明。 単調性を m≤f≤Mm \le f \le M に適用する。定数 mm の [a,b][a,b] 上での積分が m(b−a)m(b-a) であり、MM についても同様である。□\square

範囲 (1)(1) は積分に関する平均値定理の重要な成分である。∫f/(b−a)\int f / (b-a) を mm と MM の間に押し込んで、中間値定理を適用する。

計算例

∫01e−x2 dx\int_0^1 e^{-x^2}\,dx がいかに大きいか？被積分関数は [0,1][0,1] 上で e−1≤e−x2≤1e^{-1} \le e^{-x^2} \le 1 を満たす（0≤x2≤10 \le x^2 \le 1 だから）。(1)(1) から直ちに

e−1  ≤  ∫01e−x2 dx  ≤  1.e^{-1} \;\le\; \int_0^1 e^{-x^2}\,dx \;\le\; 1.

が得られる。正確な値（π2 erf(1)≈0.747\frac{\sqrt\pi}{2}\,\mathrm{erf}(1) \approx 0.747）を求めるにはより多くの仕事が必要だが、範囲は単調性から無料で得られる。

まとめ

  • 単調性：f≤gf \le g が点ごとに成り立つなら、∫f≤∫g\int f \le \int g。
  • 線形性：∫(αf+βg)=α∫f+β∫g\int (\alpha f + \beta g) = \alpha \int f + \beta \int g。
  • 絶対値の推定：∣∫abf∣≤∫ab∣f∣|\int_a^b f| \le \int_a^b |f| — 三角不等式の積分版。
  • 範囲：すべてで m≤f≤Mm \le f \le M なら、m(b−a)≤∫abf≤M(b−a)m(b-a) \le \int_a^b f \le M(b-a)。
  • これらの性質は、解析学で使われるすべての標準的な推定をもたらす。