リーマン積分の定義

単純な図形 — 矩形、三角形、円 — の面積を求める方法は既に知っている。しかし、$y = x^2$ の 0 から 1 までの曲線下面積は何か? 直接的な幾何学的公式は存在しない。リーマン積分がこの問題の答えである。曲線下面積を、ますます細かくなる矩形近似の極限として定義する。この方法は定理を証明するのに十分な精密性を備えている。

分割とダルボー和

$f: [a, b] \to \mathbb{R}$ を有界関数とする。$[a, b]$ の分割とは有限列

$$P = \{a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b\}.$$

である。各部分区間 $[x_{i-1}, x_i]$ 上で、$f$ は有界であるから、その上限と下限が存在する：

$$M_i \coloneqq \sup_{x \in [x_{i-1},\, x_i]} f(x), \qquad m_i \coloneqq \inf_{x \in [x_{i-1},\, x_i]} f(x).$$

$f$ に対する $P$ での上ダルボー和および下ダルボー和は

$$U(f, P) \coloneqq \sum_{i=1}^{n} M_i\,(x_i - x_{i-1}), \qquad L(f, P) \coloneqq \sum_{i=1}^{n} m_i\,(x_i - x_{i-1}).$$

幾何学的には、$U(f,P)$ はグラフより上にある矩形の全面積であり、$L(f,P)$ はグラフより下にある矩形の全面積である。すべての $i$ に対して $m_i \le M_i$ であるから、常に $L(f,P) \le U(f,P)$ が成り立つ。

分割を細かくすること

分割 $Q$ が $P$ の細分化であるとは、$P \subseteq Q$ （P のすべての境界点が Q にも属する）ことである。点を追加することで、上和は下がり、下和は上がる：

$$P \subseteq Q \implies L(f, P) \le L(f, Q) \le U(f, Q) \le U(f, P).$$

この結果として、すべての下和はすべての上和以下である。つまり、$P_1$ と $P_2$ が任意の二つの分割であれば、$L(f, P_1) \le U(f, P_2)$ が成り立つ。

上積分と下積分

すべての下和の集合は（任意の上和で）上に有界であるから、その上限が $\mathbb{R}$ に存在する。同様に、すべての上和の下限も存在する。これらは $f$ の下積分および上積分を定義する：

$$\underline{\int_a^b} f \;\coloneqq\; \sup_P L(f, P), \qquad \overline{\int_a^b} f \;\coloneqq\; \inf_P U(f, P).$$

すべての下和が $\le$ すべての上和であるから、常に $\underline{\int} f \le \overline{\int} f$ が成り立つ。

リーマン積分可能性

有界関数 $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ がリーマン積分可能であるとは、上積分と下積分が一致すること、すなわち

$$\underline{\int_a^b} f \;=\; \overline{\int_a^b} f.$$

である。このとき、共通の値を $f$ の $[a, b]$ 上でのリーマン積分と呼び

$$\int_a^b f(x)\,dx \;=\; \int_a^b f.$$

と記す。

ダルボーの判定法

実用的な言い換えは次の通りである。$f$ がリーマン積分可能であることと、すべての $\varepsilon > 0$ に対してある分割 $P$ が存在して

$$U(f, P) - L(f, P) \;<\; \varepsilon. \tag{1}$$

が成り立つことは同値である。

これが積分可能性の証明の標準的な道具である。

同値なリーマン和の定義

また、リーマン和を直接用いた定義もできる。分割 $P$ と代表点 $\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]$ の選択に対して、リーマン和は

$$S(f, P, \boldsymbol\xi) \;\coloneqq\; \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\,(x_i - x_{i-1}).$$

で与えられる。$P$ のメッシュを $\|P\| \coloneqq \max_i(x_i - x_{i-1})$ で定義する。このとき、$f$ がリーマン積分可能で値が $I$ であることと、すべての $\varepsilon > 0$ に対してある $\delta > 0$ が存在して、$\|P\| < \delta$ ならすべての代表点の選択に対して $|S(f,P,\boldsymbol\xi) - I| < \varepsilon$ が成り立つことは同値である。

ダルボー形式とリーマン和形式は同値であり、ダルボー形式の方が証明には便利である。

すべての連続関数は積分可能である

定理。 $f: [a, b] \to \mathbb{R}$ が連続ならば、$f$ はリーマン積分可能である。

証明。 閉有界区間上の連続関数は一様連続である。つまり、すべての $\varepsilon > 0$ に対してある $\delta > 0$ が存在して、$|x - y| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \varepsilon/(b-a)$ が成り立つ。

$\varepsilon > 0$ を与えて、上のような $\delta$ を選び、メッシュが $\|P\| < \delta$ である任意の分割 $P$ を取る。各部分区間 $[x_{i-1}, x_i]$ 上で、振動は

$$M_i - m_i \;\le\; \frac{\varepsilon}{b-a},$$

を満たす。なぜなら、$[x_{i-1}, x_i]$ のすべての二つの点は距離 $\delta$ より小さいからである。したがって

$$U(f,P) - L(f,P) \;=\; \sum_{i=1}^n (M_i - m_i)(x_i - x_{i-1}) \;\le\; \frac{\varepsilon}{b-a} \cdot (b-a) \;=\; \varepsilon.$$

ダルボーの判定法 $(1)$ により、$f$ は積分可能である。$\square$

計算例：$\int_0^1 x^2\,dx$

$f(x) = x^2$ と均等分割 $P_n = \{0, \tfrac{1}{n}, \tfrac{2}{n}, \ldots, 1\}$ を考える。$f$ は $[0,1]$ で増加関数であるから：

$$M_i = \left(\frac{i}{n}\right)^2, \qquad m_i = \left(\frac{i-1}{n}\right)^2, \qquad \Delta x_i = \frac{1}{n}.$$

上和と下和は：

$$U(f, P_n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{i^2}{n^2} = \frac{1}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2},$$ $$L(f, P_n) = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} \frac{i^2}{n^2} = \frac{(n-1)(2n-1)}{6n^2}.$$

その差は $U - L = \frac{(n+1)(2n+1) - (n-1)(2n-1)}{6n^2} = \frac{6n}{6n^2} = \frac{1}{n} \to 0$ である。したがってダルボーの判定法を満たす。両和は $\frac{1}{3}$ に収束し、

$$\int_0^1 x^2\,dx \;=\; \frac{1}{3}.$$

まとめ

• 分割は $[a,b]$ を部分区間に分ける。ダルボー和 $L(f,P)$ と $U(f,P)$ は「$f$ 下の面積」を下と上から有界にする。
• 下積分 $\underline{\int} f$ と上積分 $\overline{\int} f$ は、それぞれすべての下和と上和の上限と下限である。
• $\underline{\int} f = \overline{\int} f$ が成り立つとき、$f$ はリーマン積分可能である。その共通値が $\int_a^b f$ である。
• ダルボーの判定法：$f$ がリーマン積分可能であることと、すべての $\varepsilon > 0$ に対してある分割で $U(f,P) - L(f,P) < \varepsilon$ を満たすことは同値である。
• $[a,b]$ 上の連続関数は、一様連続性により積分可能である。