積分の加法性

区間の二つの部分で異なる公式で定義される関数を積分したいとしよう。例えば、途中で平らになる上り坂の場合である。区間全体の積分は、二つの部分の積分の和に等しい。これが加法性であり、定義から証明するのが簡単でありながら、その影響は広大である。加法性は、微分と積分を結びつける変数上限関数の基礎となる。

加法性が重要な理由

実際の多くの関数は区分定義である。異なるテーマで異なる公式に従う。加法性がなければ、定義域全体に対して単一の公式が必要になるだろう。加法性があれば、すべての接点で領域を分割し、各部分を積分して結果を足すことができる。また、加法性により積分を引くことができる：$\int_c^b f = \int_a^b f - \int_a^c f$ であり、これはテール推定と部分地域の寄与の分離に不可欠である。

形式的な陳述と証明

定理（加法性）。 $f$ が $[a, b]$ でリーマン積分可能で、$c \in (a, b)$ のとき、$f$ は $[a, c]$ と $[c, b]$ の両方で積分可能であり、

$$\int_a^b f(x)\,dx \;=\; \int_a^c f(x)\,dx \;+\; \int_c^b f(x)\,dx.$$

が成り立つ。

証明。 $f$ が $[a, b]$ で積分可能であることと、すべての $\varepsilon > 0$ に対してある分割 $P$ が存在して $U(f, P) - L(f, P) < \varepsilon$ が成り立つことは同値である。ここで $U$ と $L$ は上・下のダルボー和を表す。

ステップ1 — 分割に点 $c$ を挿入する。 $P$ を $[a, b]$ の任意の分割とし、$P^* = P \cup \{c\}$ を点 $c$ を挿入した分割とする。$c$ が既に $P$ に属していれば $P^* = P$ である。そうでなければ、$c$ は $P$ のある部分区間 $[x_{k-1}, x_k]$ の内部に落ちて、$[x_{k-1}, c]$ と $[c, x_k]$ に分割される。上和については、元の区間での上限は

$$M_k \;=\; \sup_{[x_{k-1},x_k]} f \;\geq\; \sup_{[x_{k-1},c]} f \quad\text{および}\quad M_k \;\geq\; \sup_{[c,x_k]} f,$$

であり、$M_k(x_k - x_{k-1})$ を二つのより小さい（または等しい）項に置き換えることで上和は減少するか同じままになる：$U(f, P^*) \leq U(f, P)$。下限についても同様に $L(f, P^*) \geq L(f, P)$ が成り立つ。したがって

$$U(f, P^*) - L(f, P^*) \;\leq\; U(f, P) - L(f, P).$$

ステップ2 — 部分区間での積分可能性。 $f$ が $[a, b]$ で積分可能であるから、任意の $\varepsilon > 0$ に対して $U(f,P) - L(f,P) < \varepsilon$ となる $P$ を選べる。ステップ1のように $P^*$ に細分化し、$P_1 \coloneqq P^* \cap [a, c]$、$P_2 \coloneqq P^* \cap [c, b]$ と設定する。ダルボー和は分割される：

$$U(f, P^*) = U(f, P_1) + U(f, P_2), \qquad L(f, P^*) = L(f, P_1) + L(f, P_2).$$

各項は非負であるから、

$$U(f, P_1) - L(f, P_1) \;\leq\; U(f, P^*) - L(f, P^*) < \varepsilon,$$

同様に $P_2$ についても成り立つ。$\varepsilon > 0$ は任意であるから、$f$ は $[a, c]$ と $[c, b]$ で積分可能である。

ステップ3 — 和の公式。 $I \coloneqq \int_a^b f$、$I_1 \coloneqq \int_a^c f$、$I_2 \coloneqq \int_c^b f$ とする。$c$ を含むすべての分割 $P^*$ に対して：

$$L(f, P_1) + L(f, P_2) \;\leq\; I_1 + I_2 \;\leq\; U(f, P_1) + U(f, P_2).$$

外側の式は $L(f, P^*)$ と $U(f, P^*)$ に等しく、$P^*$ のメッシュが縮小すると両方とも $I$ に収束する。したがって $I_1 + I_2 = I$ である。$\square$

有向区間と符号付き積分の慣習

ダルボー定義は暗黙的に $a < b$ を仮定している。すべての順序を統一的に扱うために、次の慣習を採用する。

$$\int_a^a f(x)\,dx \;\coloneqq\; 0, \qquad \int_b^a f(x)\,dx \;\coloneqq\; -\int_a^b f(x)\,dx \quad (a < b).$$

これらの慣習により、加法性の公式 $\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$ はすべての $a$、$b$、$c$ の実数直線上での順序に対して成り立つ。例えば、$c < a < b$ の場合を考える：

$$\int_a^b f \;=\; \int_c^b f - \int_c^a f \;=\; \int_c^b f + \int_a^c f,$$

これは、$c$ と $a$ の役割が入れ替わった元の加法性の公式そのものである。他のすべての場合も同様に成り立つ。符号の慣習により、中間の極限を自由に挿入・削除でき、どの端点が大きいかを追跡する必要がない。

変数上限の関数

基点 $a$ を領域の中に固定し、

$$F(x) \;\coloneqq\; \int_a^x f(t)\,dt$$

を区間 $[a, b]$ 内のすべての $x$ に対して定義する。これが $f$ の基点 $a$ での変数上限関数（また積分関数）である。

きちんと定義されていることの確認。 $[a, b]$ 上の $f$ の積分可能性から、加法性を使って $[a, x] \subset [a, b]$ に対して $f$ は $[a, x]$ 上で積分可能である。したがって各 $x \in [a, b]$ に対して $F(x)$ はきちんと定義された実数である。

基点の変更。 $a$ を別の基点 $a'$ で置き換えると、得られた関数 $F_{a'}(x) = \int_{a'}^x f(t)\,dt$ は

$$F_{a'}(x) \;=\; F(x) \;-\; \underbrace{F(a')}_{\text{定数}} \;=\; F(x) + C.$$

を満たす。基点を変更すると、$F$ は定数だけ移動する。これは原始関数は加法定数まで一意であるという理由の最初のしるしである — このテーマは 原始関数 チェックポイントで完全に展開される。

関数 $F$ は、ニュートン—ライプニッツの公式への重要な架け橋である。$f$ が連続のとき、$F$ は微分可能で $F'(x) = f(x)$ であり、つまり $F$ は $f$ の原始関数である。

計算例：区分線形関数

テント関数

$$f(x) \;=\; \begin{cases} x & 0 \leq x \leq 1, \\ 2 - x & 1 < x \leq 2. \end{cases}$$

を考える。$[0,1]$ 上で 0 から 1 まで線形に上昇し、$[1,2]$ では 0 まで降りてくる。$c = 1$ で加法性を適用する：

$$\int_0^2 f(x)\,dx \;=\; \int_0^1 x\,dx \;+\; \int_1^2 (2-x)\,dx.$$

各部分のグラフは底辺 1、高さ 1 の直角三角形であるから、各積分は $\tfrac{1}{2}(1)(1) = \tfrac{1}{2}$ である。したがって

$$\int_0^2 f(x)\,dx \;=\; \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \;=\; 1.$$

次に、変数上限関数を使って、蓄積される面積がどのように増えるかを追跡する。$x \in [0,1]$ に対して、

$$F(x) = \int_0^x t\,dt = \frac{x^2}{2}.$$

$x \in [1,2]$ に対して、1 で分割する：

$$F(x) = \int_0^1 t\,dt + \int_1^x (2-t)\,dt = \frac{1}{2} + \left[2t - \frac{t^2}{2}\right]_1^x = \frac{1}{2} + 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{3}{2} = 2x - \frac{x^2}{2} - 1.$$

$F(0) = 0$、$F(1) = \tfrac{1}{2}$、$F(2) = 1$ が成り立つことが確認でき、上で計算した面積と一致している。

まとめ

• 加法性：$f$ が $[a, b]$ で積分可能で $c \in (a, b)$ のとき、$f$ は $[a, c]$ と $[c, b]$ で積分可能で、$\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f$ が成り立つ。
• 証明：任意の分割に $c$ を挿入する（$U - L$ は増加しない）、和を正確に $c$ で分割する、次に極限に移行する。
• 有向区間の慣習：$\int_a^a f \coloneqq 0$ および $\int_b^a f \coloneqq -\int_a^b f$ により、加法性は $a$、$b$、$c$ のすべての順序に対して有効である。
• 変数上限関数：$F(x) \coloneqq \int_a^x f(t)\,dt$ は $[a, b]$ 上できちんと定義される。基点を変更すると、$F$ は定数だけ移動する。
• $F$ は、ニュートン—ライプニッツの公式への架け橋である。連続 $f$ に対しては、$F'(x) = f(x)$ である。