原始関数（不定積分）

微分は関数を取って、その変化率を生み出す。原始関数はそのプロセスを反転する。変化率が与えられて、元の関数を再構成するよう求められる。この逆問題は積分論の出発点であり、速度から距離を計算したり、加速度から変位を計算したり、既知の成長率から量を計算する際に自然に生じる。

定義

定義。 $f$ が区間 $I \subseteq \mathbb{R}$ で定義されているとする。微分可能関数 $F : I \to \mathbb{R}$ が $I$ 上の $f$ の原始関数（または不定積分）と呼ばれるのは、

$$F'(x) = f(x) \quad \text{すべての } x \in I \text{ に対して}$$

が成り立つことである。

例。

• $F(x) = \tfrac{x^3}{3}$ は $\mathbb{R}$ 上 $f(x) = x^2$ の原始関数である。なぜなら $\bigl(\tfrac{x^3}{3}\bigr)' = x^2$ だから。
• $F(x) = \sin x$ は $\mathbb{R}$ 上 $f(x) = \cos x$ の原始関数である。
• $F(x) = \ln x$ は $(0, \infty)$ 上 $f(x) = \tfrac{1}{x}$ の原始関数である。
• 関数 $f(x) = \operatorname{sgn}(x)$ （符号関数）は 0 を含む区間では原始関数を持たない。なぜなら、導関数はジャンプ不連続性を持つことはできないからである（ダルボーの定理）。

原始関数は定数だけ異なる

一つの原始関数 $F$ を持つと、無限に多くが得られる。$F(x) + C$ もすべての定数 $C \in \mathbb{R}$ に対して原始関数である。次の定理は、これらが唯一の原始関数であることを述べる。

定理。 $F$ と $G$ が区間 $I$ 上 $f$ の両方の原始関数なら、$G(x) - F(x) = C$ がある定数 $C \in \mathbb{R}$ に対して成り立つ。

証明。 $H \coloneqq G - F$ とする。すべての $x \in I$ に対して、

$$H'(x) = G'(x) - F'(x) = f(x) - f(x) = 0.$$

ラグランジュの平均値定理を $I$ の任意の部分区間 $[x_1, x_2]$ に適用する。そうするとある $c \in (x_1, x_2)$ が存在して

$$H(x_2) - H(x_1) = H'(c)(x_2 - x_1) = 0 \cdot (x_2 - x_1) = 0.$$

$x_1, x_2 \in I$ は任意であるから、$H$ は $I$ のすべての二つの点で同じ値を取るから、$H$ は $I$ 上で定数である。$\square$

なぜ区間の仮定が重要か。 非連結領域（互いに素な二つの開区間の合の例）では、導関数がゼロの関数はグローバルには定数である必要がない — 各連結成分で異なる定数値を取ることができる。非連結領域上の原始関数は、成分ごとに一つの定数まで一意である。このチェックポイントは $I$ が区間（連結）であると仮定する。

不定積分

$f$ のすべての原始関数の族の表記は不定積分である：

$$\int f(x)\,dx \;\coloneqq\; F(x) + C,$$

ここで $F$ は $f$ の任意の一つの原始関数で、$C \in \mathbb{R}$ は任意の定数である。記号 $\int \cdots dx$ は「… の x に関する不定積分」と読まれる。

$+C$ はオプションの装飾ではない。原始関数の全族が存在し、すべてが定数だけ異なるという事実を記録する。それを削除することは、一般的な族ではなく特定の関数を要求することを意味するだろう。

不定積分対定義積分

これら二つの積分記号の使用は、根本的に異なるオブジェクトを指す：

	不定積分 $\int f(x)\,dx$	定義積分 $\int_a^b f(x)\,dx$
結果	関数の族 $F(x) + C$	実数
次に依存する	被積分関数 $f$ と変数 $x$	被積分関数 $f$ と限度 $a, b$
任意定数	はい — $C$ は不定	いいえ — 値は固定
要求	原始関数が存在すること	$f$ のリーマン積分可能性

ニュートン—ライプニッツの公式（次のチェックポイントで証明）はそれらを接続する。$f$ が連続で $F$ が $f$ の任意の原始関数なら、$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$。

基本的な原始関数の表

以下の原始関数は直接右辺を微分することから従う。各行は右辺が定義された区間で成り立つ。

$f(x)$	$\int f(x)\,dx$	注記
$x^n$ （$n \neq -1$）	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$	すべての $n \in \mathbb{R}$、$n \notin \mathbb{Z}$ なら $x > 0$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln\lvert x\rvert + C$	$x \neq 0$；$x$ の符号ごとに一つの定数
$e^x$	$e^x + C$
$\sin x$	$-\cos x + C$
$\cos x$	$\sin x + C$
$\dfrac{1}{1+x^2}$	$\arctan x + C$
$\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\arcsin x + C$	$\lvert x\rvert < 1$
$\sqrt{x}$ （$x > 0$）	$\dfrac{2}{3}x^{3/2} + C$	$x^n$ で $n = \frac{1}{2}$ の特別な場合

右辺を微分することで各項を確認できる。例えば、$(\ln\lvert x\rvert)' = \tfrac{1}{x}$ （$x \neq 0$）、および $(-\cos x)' = \sin x$。

不定積分の線形性

微分が線形であるから、原始関数を取ることも線形である。

定理（線形性）。 $F$ が $I$ 上 $f$ の原始関数で、$G$ が $I$ 上 $g$ の原始関数なら、任意の定数 $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ に対して

$$\int \bigl[\alpha f(x) + \beta g(x)\bigr]\,dx \;=\; \alpha F(x) + \beta G(x) + C.$$

証明。 $(\alpha F + \beta G)' = \alpha F' + \beta G' = \alpha f + \beta g$。$\square$

例。 $\displaystyle\int (3x^2 - 5\cos x)\,dx$ を計算する。

線形性と表により：

$$\int (3x^2 - 5\cos x)\,dx \;=\; 3\cdot\frac{x^3}{3} - 5\sin x + C \;=\; x^3 - 5\sin x + C.$$

例。 $\displaystyle\int \frac{x^3 + 2\sqrt{x}}{x}\,dx$ を計算する（$x > 0$）。

最初に被積分関数を単純化する：

$$\frac{x^3 + 2\sqrt{x}}{x} = x^2 + \frac{2}{\sqrt{x}} = x^2 + 2x^{-1/2}.$$

次に線形性：

$$\int \!\left(x^2 + 2x^{-1/2}\right)dx = \frac{x^3}{3} + 2\cdot\frac{x^{1/2}}{1/2} + C = \frac{x^3}{3} + 4\sqrt{x} + C.$$

まとめ

• 原始関数（不定積分）$f$ の区間 $I$ 上の原始関数は、$F' = f$ が $I$ で成り立つ微分可能関数 $F$ である。
• $I$ 上の $f$ の任意の二つの原始関数は定数だけ異なる。$F' = G' = f$ なら、$G = F + C$ （ある $C \in \mathbb{R}$）。これはラグランジュの MVT から $G - F$ に適用されることから従う。
• 不定積分 $\int f(x)\,dx \coloneqq F(x) + C$ は原始関数全体の族を表す；$+C$ は本質的である。
• 不定積分は関数の族；定義積分 $\int_a^b f$ は数。ニュートン—ライプニッツの公式はそれらを結合する。
• 線形性：$\int (\alpha f + \beta g)\,dx = \alpha \int f\,dx + \beta \int g\,dx$ （定数まで）。
• 原始関数の標準表 — べき、$e^x$、$\sin$、$\cos$、$1/x$、逆三角関数 — は既知の微分公式を反転することで構成される。