リーマン積分

チェックポイント

• 積分の加法性 Basis f が [a, b] でリーマン積分可能で c ∈ (a, b) のとき、f は [a, c] と [c, b] で積分可能で ∫_a^b f = ∫_a^c f + ∫_c^b f が成り立つ。このチェックポイントではダルボー和から加法性を証明し、有向区間の慣習 ∫_a^b f = −∫_b^a f を導入し、変数上限の積分 F(x) = ∫_a^x f(t) dt を紹介する。
• 積分の変数変換 Basis φ が [α, β] で連続微分可能で φ([α, β]) ⊆ [a, b]、f が [a, b] で連続のとき、∫_α^β f(φ(t)) φ'(t) dt = ∫_{φ(α)}^{φ(β)} f(x) dx が成り立つ。このチェックポイントはチェーンルール プラス ニュートン—ライプニッツから置換ルールを導出し、定義積分形式と不定積分形式の両方を扱う。
• リーマン積分の定義 Basis 有界関数 f を [a, b] で定義したとき、上・下ダルボー和の極限が一致するとき、その共通の値をリーマン積分と定義する。このチェックポイントではダルボー和の上下、ダルボーの判定法を説明し、連続関数がリーマン積分可能であることを証明する。
• 広義積分の収束 Basis 広義積分の収束テストは無限級数のテストに相似する。このチェックポイントは比較テスト、極限比較テスト、コーシー収束判定法、および ∫_1^∞ (sin x) / x dx のような振動積分に対するアーベル—ディリクレテストを展開し、絶対対条件付き収束を定義する。
• 広義積分 Basis リーマン積分は有界区間上の有界関数に定義される。広義積分は固有積分の極限をとることで、非有界区間（∫_a^∞ f）と端点近くで非有界な関数（∫_a^b f で f は b で発散）に拡張する。このチェックポイントは両種類の広義積分を定義し、収束と発散を区別し、標準的な例を実行する。
• 部分積分 Basis 積の法則 (uv)' = u'v + uv' を [a, b] で積分してニュートン—ライプニッツを適用すると、部分積分の公式 ∫_a^b u(x) v'(x) dx = [u(x) v(x)]_a^b − ∫_a^b u'(x) v(x) dx が得られる。このチェックポイントは公式を導出し、不定積分形式 ∫ u dv = uv − ∫ v du を提示し、標準的な応用を実行する。
• 積分に関する平均値定理 Basis f が [a, b] で連続なら、ある ξ ∈ [a, b] が存在して ∫_a^b f(x) dx = f(ξ) (b − a) — 積分は中間のある点での値に区間の長さを掛けたものに等しい。このチェックポイントはダルボー和の単調性の範囲と中間値定理を組み合わせることで定理を証明し、加重形式 ∫ f g = f(ξ) ∫ g を提示する。
• 積分の単調性 Basis f, g が [a, b] で積分可能で f ≤ g が点ごとに成り立つなら、∫_a^b f ≤ ∫_a^b g が成り立つ。このチェックポイントはダルボー和の定義から単調性を証明し、|∫_a^b f| ≤ ∫_a^b |f| を導出し、m(b − a) ≤ ∫_a^b f ≤ M(b − a) で上下を制限する。
• ニュートン—ライプニッツの公式 Basis 微積分の基本定理の二つの部分：f が [a, b] で連続のとき、F(x) = ∫_a^x f(t) dt は微分可能で F'(x) = f(x)；F が f の原始関数なら ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a)。このチェックポイントは両部分を証明し、最初の部分はダルボー和に積分の平均値定理を適用し、二番目の部分は「原始関数は定数だけ異なる」を組み合わせることで証明する。
• 原始関数（不定積分） Basis f の原始関数は、F'(x) = f(x) が区間 I のすべての x に対して成り立つ微分可能関数 F である。同じ f の任意の二つの原始関数は定数だけ異なる。このチェックポイントは原始関数を定義し、ラグランジュの平均値定理から「定数だけ異なる」定理を証明し、不定積分表記 ∫ f(x) dx = F(x) + C を導入する。
• リーマン積分可能な関数のクラス Basis 連続関数を超えて、二つの大きなクラスの有界関数がリーマン積分可能である：単調関数と、有限個の不連続点のみを持つ関数（より一般には、不連続点の集合がルベーグ測度ゼロの関数 — ルベーグの特性化）。このチェックポイントは単調および区分連続関数の積分可能性を証明し、リーマン積分可能でない有界関数（ディリクレ関数）を例示する。
• 積分に関する第二平均値定理 Basis g が [a, b] で単調で f が積分可能なら、ある ξ ∈ [a, b] が存在して ∫_a^b f(x) g(x) dx = g(a) ∫_a^ξ f(x) dx + g(b) ∫_ξ^b f(x) dx — ボンネの形式での第二平均値定理。このチェックポイントはこの定理をアーベル和論と部分積分に相似した論証で導出し、∫_1^∞ (sin x) / x dx のような振動積分の収束を確立するのに使う。