広義積分の収束

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前提知識

広義積分では、固有積分の極限として ∫a∞f\int_a^\infty f を定義し、それを収束または発散として分類することを学んだ。多くの関数では、極限を直接計算するのは困難、あるいは不可能である。必要なのはテスト — 極限を明示的に評価することなく収束を決定できる基準である。これは無限級数の代わりに比較テストを使うのと同じ方法である。このチェックポイントはそれらのテストを展開し、最も簡単（比較）から最も微妙（振動被積分関数に対するアーベル—ディリクレ）まで組織する。

コーシー収束判定法

基礎的な判定法は数列に対するコーシー判定法の直接類似である。

定理（コーシー判定法）。 広義積分 ∫a∞f(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx が収束することと、すべての ε>0\varepsilon > 0 に対して A≥aA \ge a が存在して、すべての B>AB > A に対して

∣∫ABf(x) dx∣<ε.\left|\int_A^B f(x)\,dx\right| < \varepsilon.

が成り立つことは同値である。

証明スケッチ。 F(t)=∫atf(x) dxF(t) = \int_a^t f(x)\,dx と定義する。積分が収束することと lim⁡t→∞F(t)\lim_{t \to \infty} F(t) が存在することは同値で、FF が極限の収束に対するコーシー条件を満たすことは同値である。F(B)−F(A)∣<εF(B) - F(A)| < \varepsilon （大きい A,BA, B に対して）。しかし F(B)−F(A)=∫ABfF(B) - F(A) = \int_A^B f であるから、これはまさに述べられた条件である。□\square

コーシー判定法は特に振動積分に有用で、極限値を知らなくても、尾が小さいことを示す必要がある。

比較テスト

ff が非負のとき、積分の単調性は直接的な比較を可能にする。

定理（比較テスト）。 すべての x≥ax \ge a に対して 0≤f(x)≤g(x)0 \le f(x) \le g(x) とする。

  • ∫a∞g(x) dx\int_a^\infty g(x)\,dx が収束するなら、∫a∞f(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx も収束して ∫a∞f≤∫a∞g\int_a^\infty f \le \int_a^\infty g。
  • ∫a∞f(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx が発散するなら、∫a∞g(x) dx\int_a^\infty g(x)\,dx も発散する。

証明。 f≥0f \ge 0 であるから、関数 F(t)=∫atfF(t) = \int_a^t f は増加している。∫g\int g が収束するなら、F(t)≤∫atg≤∫a∞g<∞F(t) \le \int_a^t g \le \int_a^\infty g < \infty （すべての tt）。増加有界関数は有限の極限を持つから、∫f\int f は収束する。発散方向は対偶から従う。□\square

例。 x≥1x \ge 1 に対して、不等式 e−x2≤e−xe^{-x^2} \le e^{-x} が成り立つ （x2≥xx^2 \ge x であるから）。∫1∞e−x dx=e−1\int_1^\infty e^{-x}\,dx = e^{-1} が収束するから、比較テストは ∫1∞e−x2 dx<∞\int_1^\infty e^{-x^2}\,dx < \infty を与える。

極限比較テスト

時々、ff を単純な関数で直接制限することはできないが、その漸近的なサイズを比較できる。

定理（極限比較テスト）。 f(x),g(x)>0f(x), g(x) > 0 （x≥ax \ge a）とし、

lim⁡x→∞f(x)g(x)=L,0<L<∞.\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = L, \quad 0 < L < \infty.

と仮定する。

そうするなら ∫a∞f\int_a^\infty f が収束することと ∫a∞g\int_a^\infty g が収束することは同値である。

証明。 f/g→Lf/g \to L であるから、ある AA が存在して x≥Ax \ge A に対して

L2≤f(x)g(x)≤2L,\frac{L}{2} \le \frac{f(x)}{g(x)} \le 2L,

つまり、L2 g(x)≤f(x)≤2L g(x)\frac{L}{2}\,g(x) \le f(x) \le 2L\,g(x)。[A,∞)[A, \infty) に適用された通常の比較テストはそうするなら同値性を与える。□\square

例。 f(x)=1x2+1f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} を g(x)=x−2g(x) = x^{-2} と比較する。そうするなら f(x)/g(x)=x2/(x2+1)→1f(x)/g(x) = x^2/(x^2+1) \to 1。∫1∞x−2 dx\int_1^\infty x^{-2}\,dx は収束するから（p=2>1p = 2 > 1 の pp-積分），積分 ∫1∞dxx2+1\int_1^\infty \frac{dx}{x^2+1} も収束する。

境界ケース L=0L = 0 または L=∞L = \infty。 L=0L = 0 なら f=o(g)f = o(g)：∫g\int g の収束は ∫f\int f の収束を含む，しかし逆は成り立たない。L=∞L = \infty なら役割は反転する。

絶対対条件付き収束

定義。 積分 ∫a∞f(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx が絶対収束であるとは、∫a∞∣f(x)∣ dx\int_a^\infty |f(x)|\,dx が収束することである。これが条件付き収束であるとは，∫a∞f\int_a^\infty f は収束するが ∫a∞∣f∣\int_a^\infty |f| は発散することである。

命題。 絶対収束は収束を含む。

証明。 コーシー判定法と三角不等式から：

∣∫ABf∣≤∫AB∣f∣.\left|\int_A^B f\right| \le \int_A^B |f|.

∫∣f∣\int |f| が収束するなら、∫AB∣f∣\int_A^B |f| を大きい AA に対して任意に小さくでき，同じ範囲は ∣∫ABf∣|\int_A^B f| に適用される。□\square

逆は失敗する。積分 ∫1∞sin⁡xx dx\int_1^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx は条件付き収束である：それは収束するが，∫1∞∣sin⁡x∣x dx=∞\int_1^\infty \frac{|\sin x|}{x}\,dx = \infty （これは下で示される）。

アーベル—ディリクレテスト

絶対収束が失敗する振動積分に対して，二つのテストが最も一般的な状況を扱う。どちらも級数に対応するテストの連続アナログである。

ディリクレのテスト

定理（ディリクレのテスト）。 次を仮定する：

  1. F(x)≔∫axf(t) dtF(x) \coloneqq \int_a^x f(t)\,dt は有界：ある MM が存在して ∣F(x)∣≤M|F(x)| \le M （すべての x≥ax \ge a）。
  2. gg は単調減少して 00 に：g(x)→0g(x) \to 0 （x→∞x \to \infty）。

そうするなら ∫a∞f(x) g(x) dx\int_a^\infty f(x)\,g(x)\,dx は収束する。

証明。 [A,B][A, B] にボンネの定理（第二平均値定理）を適用する。そうするとある ξ∈[A,B]\xi \in [A, B] が存在して

∫ABf(x) g(x) dx=g(A)∫Aξf(x) dx+g(B)∫ξBf(x) dx.\int_A^B f(x)\,g(x)\,dx = g(A)\int_A^\xi f(x)\,dx + g(B)\int_\xi^B f(x)\,dx.

が成り立つ。

∫Aξf=F(ξ)−F(A)\int_A^\xi f = F(\xi) - F(A) であるから，∣∫Aξf∣≤2M|\int_A^\xi f| \le 2M。同様に ∣∫ξBf∣≤2M|\int_\xi^B f| \le 2M。したがって

∣∫ABf(x) g(x) dx∣≤2M g(A)+2M g(B)≤4M g(A).\left|\int_A^B f(x)\,g(x)\,dx\right| \le 2M\,g(A) + 2M\,g(B) \le 4M\,g(A).

g(A)→0g(A) \to 0 （A→∞A \to \infty）であるから，コーシー判定法は満たされる。□\square

アーベルのテスト

定理（アーベルのテスト）。 次を仮定する：

  1. ∫a∞f(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx は収束。
  2. gg は [a,∞)[a, \infty) で単調で有界。

そうするなら ∫a∞f(x) g(x) dx\int_a^\infty f(x)\,g(x)\,dx は収束する。

証明。 gg は単調で有界であるから，有限の極限 L=lim⁡x→∞g(x)L = \lim_{x \to \infty} g(x) を持つ。g=(g−L)+Lg = (g - L) + L と書く。関数 g−Lg - L は単調で 0 に向かい，LL は定数。したがって

∫a∞fg=L∫a∞f+∫a∞f (g−L).\int_a^\infty f g = L \int_a^\infty f + \int_a^\infty f\,(g - L).

最初の積分は仮説により収束する。二番目は g−Lg - L にディリクレのテストを適用して収束する （その原始関数 F(x)=∫axfF(x) = \int_a^x f は有界である。∫a∞f\int_a^\infty f が収束するから，コーシー判定法で）。□\square

計算例

∫1∞sin⁡xx dx\int_1^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx は収束（ディリクレ）

f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x と g(x)=1/xg(x) = 1/x と設定する。その原始関数 F(x)=−cos⁡x+cos⁡1F(x) = -\cos x + \cos 1 は ∣F(x)∣≤2|F(x)| \le 2 （すべての xx）を満たし、g(x)=1/x↘0g(x) = 1/x \searrow 0。ディリクレのテストにより，∫1∞sin⁡xx dx\int_1^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx は収束する。

∫1∞sin⁡xx2 dx\int_1^\infty \frac{\sin x}{x^2}\,dx は絶対収束

すべての xx に対して，∣sin⁡xx2∣≤1x2\left|\frac{\sin x}{x^2}\right| \le \frac{1}{x^2}。∫1∞x−2 dx\int_1^\infty x^{-2}\,dx は収束するから（p=2>1p = 2 > 1），比較テストは絶対収束を与える。

∫1∞dxx\int_1^\infty \frac{dx}{x} は発散

これは広義積分からのタイプ1の p=1p = 1 ケースである。ln⁡b→∞\ln b \to \infty であるから，積分は発散する。

∫1∞∣sin⁡x∣x dx\int_1^\infty \frac{|\sin x|}{x}\,dx は発散

各区間 [kπ,(k+1)π][k\pi, (k+1)\pi] 上で，∣sin⁡x∣≥0|\sin x| \ge 0 で ∫kπ(k+1)π∣sin⁡x∣ dx=2\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |\sin x|\,dx = 2。この区間上で 1x≥1(k+1)π\frac{1}{x} \ge \frac{1}{(k+1)\pi} であるから，

∫kπ(k+1)π∣sin⁡x∣x dx≥2(k+1)π.\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{|\sin x|}{x}\,dx \ge \frac{2}{(k+1)\pi}.

右側は発散級数 ∑1/(k+1)\sum 1/(k+1) の一般項であるから，比較テストにより積分は発散する。これは ∫1∞sin⁡xx dx\int_1^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx が条件付きだが絶対収束ではないことを確認する。

まとめ

  • コーシー判定法：∫a∞f\int_a^\infty f が収束することと ∣∫ABf∣|\int_A^B f| が大きい AA に対して任意に小さくできることは同値。
  • 比較テスト：0≤f≤g0 \le f \le g に対して，∫g\int g の収束は ∫f\int f の収束を含む；∫f\int f の発散は ∫g\int g の発散を含む。
  • 極限比較テスト：f,g>0f, g > 0 で f/g→L∈(0,∞)f/g \to L \in (0, \infty) なら，∫f\int f と ∫g\int g は共に収束または共に発散。
  • 絶対収束（∫∣f∣<∞\int |f| < \infty）は収束を含む；逆は失敗。
  • ディリクレのテスト：有界な F(x)=∫axfF(x) = \int_a^x f プラス g↘0g \searrow 0 は ∫fg\int fg の収束を保証。
  • アーベルのテスト：収束した ∫f\int f プラス単調有界な gg は ∫fg\int fg の収束を保証。
  • ∫1∞sin⁡xx dx\int_1^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx は条件付き収束（ディリクレ）；∫1∞sin⁡xx2 dx\int_1^\infty \frac{\sin x}{x^2}\,dx は絶対収束（比較）；∫1∞dxx\int_1^\infty \frac{dx}{x} と ∫1∞∣sin⁡x∣x dx\int_1^\infty \frac{|\sin x|}{x}\,dx は両方とも発散。