廣義積分的收斂判別法

Basis
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先備知識

在廣義積分中，你學到了如何將 ∫a∞f\int_a^\infty f 定義為適當積分的極限，並將其分類為收斂（convergence）或發散。對許多函數而言，直接計算這個極限十分困難甚至不可能。你需要的是判別法——讓你無需顯式求極限便能判斷收斂性的準則，就像對無窮級數使用比較判別法而非逐項求和一樣。本章依由簡至繁的順序發展這些判別法，從最基本的比較法到最精妙的振盪被積函數 Abel–Dirichlet 判別法。

柯西收斂判準

最基本的判準是數列柯西條件的直接類比。

定理（柯西收斂判準）。 廣義積分 ∫a∞f(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx 收斂若且唯若對任意 ε>0\varepsilon > 0，存在 A≥aA \ge a 使得對所有 B>AB > A，

∣∫ABf(x) dx∣<ε.\left|\int_A^B f(x)\,dx\right| < \varepsilon.

證明提要。 定義 F(t)=∫atf(x) dxF(t) = \int_a^t f(x)\,dx。積分收斂若且唯若 lim⁡t→∞F(t)\lim_{t \to \infty} F(t) 存在，若且唯若 FF 滿足極限收斂的柯西條件：對充分大的 AA、BB 有 ∣F(B)−F(A)∣<ε|F(B) - F(A)| < \varepsilon。而 F(B)−F(A)=∫ABfF(B) - F(A) = \int_A^B f，故這恰好是所述條件。□\square

對於振盪積分，柯西判準特別有用——你需要說明尾部很小，但不必知道極限值。

比較判別法

當 ff 非負時，積分的單調性使得直接比較成為可能。

定理（比較判別法）。 設對所有 x≥ax \ge a 均有 0≤f(x)≤g(x)0 \le f(x) \le g(x)。

  • 若 ∫a∞g(x) dx\int_a^\infty g(x)\,dx 收斂，則 ∫a∞f(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx 收斂且 ∫a∞f≤∫a∞g\int_a^\infty f \le \int_a^\infty g。
  • 若 ∫a∞f(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx 發散，則 ∫a∞g(x) dx\int_a^\infty g(x)\,dx 發散。

證明。 由 f≥0f \ge 0，函數 F(t)=∫atfF(t) = \int_a^t f 是遞增的。若 ∫g\int g 收斂，則對所有 tt 有 F(t)≤∫atg≤∫a∞g<∞F(t) \le \int_a^t g \le \int_a^\infty g < \infty。有界的遞增函數有有限的極限，故 ∫f\int f 收斂。發散方向由逆否命題得到。□\square

範例。 對 x≥1x \ge 1，不等式 e−x2≤e−xe^{-x^2} \le e^{-x} 成立（因 x2≥xx^2 \ge x）。由於 ∫1∞e−x dx=e−1\int_1^\infty e^{-x}\,dx = e^{-1} 收斂，比較判別法給出 ∫1∞e−x2 dx<∞\int_1^\infty e^{-x^2}\,dx < \infty。

極限比較判別法

有時無法直接用一個更簡單的函數界定 ff，但可以比較它們的漸近大小。

定理（極限比較判別法）。 設對 x≥ax \ge a 均有 f(x),g(x)>0f(x), g(x) > 0，且

lim⁡x→∞f(x)g(x)=L,0<L<∞.\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = L, \quad 0 < L < \infty.

則 ∫a∞f\int_a^\infty f 收斂若且唯若 ∫a∞g\int_a^\infty g 收斂。

證明。 由 f/g→Lf/g \to L，存在 AA 使得對 x≥Ax \ge A 有

L2≤f(x)g(x)≤2L,\frac{L}{2} \le \frac{f(x)}{g(x)} \le 2L,

即 L2 g(x)≤f(x)≤2L g(x)\frac{L}{2}\,g(x) \le f(x) \le 2L\,g(x)。在 [A,∞)[A, \infty) 上應用普通比較判別法即得等價性。□\square

範例。 比較 f(x)=1x2+1f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} 與 g(x)=x−2g(x) = x^{-2}。則 f(x)/g(x)=x2/(x2+1)→1f(x)/g(x) = x^2/(x^2+1) \to 1。由於 ∫1∞x−2 dx\int_1^\infty x^{-2}\,dx 收斂（p=2>1p = 2 > 1 的 pp 積分），積分 ∫1∞dxx2+1\int_1^\infty \frac{dx}{x^2+1} 也收斂。

邊界情形 L=0L = 0 或 L=∞L = \infty。 若 L=0L = 0，則 f=o(g)f = o(g)：∫g\int g 收斂蘊含 ∫f\int f 收斂，但逆命題未必成立。若 L=∞L = \infty，則角色互換。

絕對收斂與條件收斂

定義。 若 ∫a∞∣f(x)∣ dx\int_a^\infty |f(x)|\,dx 收斂，則稱積分 ∫a∞f(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx 絕對收斂（absolutely convergent）。若 ∫a∞f\int_a^\infty f 收斂但 ∫a∞∣f∣\int_a^\infty |f| 發散，則稱其條件收斂（conditionally convergent）。

命題。 絕對收斂蘊含收斂。

證明。 由柯西判準與三角不等式：

∣∫ABf∣≤∫AB∣f∣.\left|\int_A^B f\right| \le \int_A^B |f|.

若 ∫∣f∣\int |f| 收斂，則對充分大的 AA，∫AB∣f∣\int_A^B |f| 可以任意小，同樣的界限適用於 ∣∫ABf∣|\int_A^B f|。□\square

逆命題不成立。積分 ∫1∞sin⁡xx dx\int_1^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx 是條件收斂的：它收斂（見下文），但 ∫1∞∣sin⁡x∣x dx=∞\int_1^\infty \frac{|\sin x|}{x}\,dx = \infty（見本章末尾）。

Abel–Dirichlet 判別法

對絕對收斂不成立的振盪積分，下面兩個判別法處理最常見的情況，均是對應級數判別法的連續類比。

Dirichlet 判別法

定理（Dirichlet 判別法）。 設：

  1. F(x)≔∫axf(t) dtF(x) \coloneqq \int_a^x f(t)\,dt 有界：存在 MM 使得對所有 x≥ax \ge a 均有 ∣F(x)∣≤M|F(x)| \le M。
  2. gg 單調遞減趨於 00：g(x)→0g(x) \to 0（x→∞x \to \infty）。

則 ∫a∞f(x) g(x) dx\int_a^\infty f(x)\,g(x)\,dx 收斂。

證明。 在 [A,B][A, B] 上應用 Bonnet 定理（積分第二中值定理）：存在 ξ∈[A,B]\xi \in [A, B] 使得

∫ABf(x) g(x) dx=g(A)∫Aξf(x) dx+g(B)∫ξBf(x) dx.\int_A^B f(x)\,g(x)\,dx = g(A)\int_A^\xi f(x)\,dx + g(B)\int_\xi^B f(x)\,dx.

由 ∫Aξf=F(ξ)−F(A)\int_A^\xi f = F(\xi) - F(A)，得 ∣∫Aξf∣≤2M|\int_A^\xi f| \le 2M，類似地 ∣∫ξBf∣≤2M|\int_\xi^B f| \le 2M。因此

∣∫ABf(x) g(x) dx∣≤2M g(A)+2M g(B)≤4M g(A).\left|\int_A^B f(x)\,g(x)\,dx\right| \le 2M\,g(A) + 2M\,g(B) \le 4M\,g(A).

由於 g(A)→0g(A) \to 0（A→∞A \to \infty），柯西判準成立。□\square

Abel 判別法

定理（Abel 判別法）。 設：

  1. ∫a∞f(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx 收斂。
  2. gg 在 [a,∞)[a, \infty) 上單調且有界。

則 ∫a∞f(x) g(x) dx\int_a^\infty f(x)\,g(x)\,dx 收斂。

證明。 由 gg 單調有界，其有有限極限 L=lim⁡x→∞g(x)L = \lim_{x \to \infty} g(x)。寫成 g=(g−L)+Lg = (g - L) + L。函數 g−Lg - L 單調趨於 00，LL 為常數。因此

∫a∞fg=L∫a∞f+∫a∞f (g−L).\int_a^\infty f g = L \int_a^\infty f + \int_a^\infty f\,(g - L).

第一個積分由假設收斂。第二個積分由 Dirichlet 判別法對 ff 與 g−Lg - L 收斂（F(x)=∫axfF(x) = \int_a^x f 有界，因為 ∫a∞f\int_a^\infty f 收斂，由柯西判準得）。□\square

計算範例

∫1∞sin⁡xx dx\int_1^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx 收斂（Dirichlet 判別法）

令 f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x，g(x)=1/xg(x) = 1/x。原函數 F(x)=−cos⁡x+cos⁡1F(x) = -\cos x + \cos 1 對所有 xx 滿足 ∣F(x)∣≤2|F(x)| \le 2，且 g(x)=1/x↘0g(x) = 1/x \searrow 0。由 Dirichlet 判別法，∫1∞sin⁡xx dx\int_1^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx 收斂。

∫1∞sin⁡xx2 dx\int_1^\infty \frac{\sin x}{x^2}\,dx 絕對收斂

對所有 xx，∣sin⁡xx2∣≤1x2\left|\frac{\sin x}{x^2}\right| \le \frac{1}{x^2}。由於 ∫1∞x−2 dx\int_1^\infty x^{-2}\,dx 收斂（p=2>1p = 2 > 1），比較判別法給出絕對收斂。

∫1∞dxx\int_1^\infty \frac{dx}{x} 發散

這是廣義積分中第一類 pp 積分的 p=1p = 1 情形。由於 ln⁡b→∞\ln b \to \infty，積分發散。

∫1∞∣sin⁡x∣x dx\int_1^\infty \frac{|\sin x|}{x}\,dx 發散

在每個區間 [kπ,(k+1)π][k\pi, (k+1)\pi] 上，∣sin⁡x∣≥0|\sin x| \ge 0 且 ∫kπ(k+1)π∣sin⁡x∣ dx=2\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |\sin x|\,dx = 2。由於在該區間上 1x≥1(k+1)π\frac{1}{x} \ge \frac{1}{(k+1)\pi}，

∫kπ(k+1)π∣sin⁡x∣x dx≥2(k+1)π.\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{|\sin x|}{x}\,dx \ge \frac{2}{(k+1)\pi}.

右端是發散級數（∑1/(k+1)\sum 1/(k+1) 發散）的通項，故由比較判別法，積分發散。這確認了 ∫1∞sin⁡xx dx\int_1^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx 是條件收斂但非絕對收斂的。

摘要

  • 柯西判準：∫a∞f\int_a^\infty f 收斂若且唯若對充分大的 AA，∣∫ABf∣|\int_A^B f| 對所有 B>AB > A 均可任意小。
  • 比較判別法：對 0≤f≤g0 \le f \le g，∫g\int g 收斂蘊含 ∫f\int f 收斂；∫f\int f 發散蘊含 ∫g\int g 發散。
  • 極限比較判別法：若 f,g>0f, g > 0 且 f/g→L∈(0,∞)f/g \to L \in (0, \infty)，則 ∫f\int f 與 ∫g\int g 同時收斂或同時發散。
  • 絕對收斂（∫∣f∣<∞\int |f| < \infty）蘊含收斂；逆命題不成立。
  • Dirichlet 判別法：F(x)=∫axfF(x) = \int_a^x f 有界加上 g↘0g \searrow 0，保證 ∫fg\int fg 收斂。
  • Abel 判別法：∫f\int f 收斂加上 gg 單調有界，保證 ∫fg\int fg 收斂。
  • ∫1∞sin⁡xx dx\int_1^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx 條件收斂（Dirichlet）；∫1∞sin⁡xx2 dx\int_1^\infty \frac{\sin x}{x^2}\,dx 絕對收斂（比較）；∫1∞dxx\int_1^\infty \frac{dx}{x} 與 ∫1∞∣sin⁡x∣x dx\int_1^\infty \frac{|\sin x|}{x}\,dx 均發散。